Dzielenie grupy przez podgrupę przestrzeń ilorazowa

If you want to achieve greatness, stop asking for permission.

   ~Anonymous

Niech G będzie grupą. Mamy więc w G łączne mnożenie (a,b) → ab , mamy tam jedność e, mamy operację odwrotności

 a → a^-1. 

Niech H będzie podgrupą. Czasami ten fakt zapisujemy jako H ≦ G, Gdybyśmy napisali tylko 

H ⊂ G, oznaczałoby to jedynie, że H jest podzbiorem G. By podzbiór był podgrupą, musi być zamkniety ze względu na mnożenie elementów, i ze względu na branie odwrotności. Musi też zawierać grupową jedność e.

Tytuł: "Ekspres polarny"
Reż.: Robert Zemeckis
Premiera: 2004 rok

Mając H możemy w G wprowadzić następującą relację ∼

a∼b wtedy i tylko wtedy gdy a^-1b ∊ H.

Zadanie 1: Opierając się na definicjach i logicznym wniosklowaniu udowodnij, że 

1)  ∼ jest symetryczna, zatem a∼b  ⇔ b∼a,

2) zwrotna a ∼ a

3) przechodnia: jeśli a∼b i b∼c to a∼c

Innymi słowy ∼ jest relacją równoważności.

Możemy więc rozważyć klasy równważności. 

Klasę równoważności elementu a oznaczamy przez [a]. 

Jak to zwykle bywa z klasami równowazności 

[a] i [b] są albo identyczne albo rozłączne.

W naszym przypadku możemy te klasy przedtawić inaczej:

Zadanie 2: Pokaż, że [a]=aH

gdzie

aH ={ah: h ∊ H}.

Zbiór klas równowążności oznaczamy przez G/H - jest to iloraz gupy przez podgrupę.

Iloraz grupy przez podgrupę sam na ogół nie będzie miał struktury grupowej. Chciałoby się zdefiniować mnożenie klas równoważności tak:

[a][b] = [ab]

Jednak nie jest to na ogół  sensowna definicja. Wygląda na sensowną, ale tylko tak wyglada.

Zadanie 3: dlaczego [a][b] = [ab] nie sensowną definicją?

Sensowne jest natomiast działanie grupy G na iloraz G/H zdefiniowane jako

a[b] = [ab]

Zadanie 4: Pokaż, że jest to faktycznie działanie. 

Zadanie 5: Czy jest efektywne?

Zadanie 6: Czy jest tranzytywne?

Daję to jako zadania, bowiem sam nie znam na te pytania odpowiedzi.