Symetrie w dwuwymiarowej przestrzeni zespolonej

 Punktem wyjścia jest najprostsza nietrywialna przestrzeń Hilberta: C². W mechanice kwantowej używana jest zwykle do opisu czystego spinu 1/2 - jak to ma elektron czy proton. Wektorami tej przestrzeni sa pary liczb zesponych (u1,u2), zapisywane zwyle jako kolumienki.

Mamy tam naturalny hermitowski iloczyn skalarny. Jeśli ξ = (u1,u2), ξ'=(u1',u2') to

(ξ,ξ') = u1* u1' + u2* u2' 

gdzie * oznacza sprzężenie zespolone. Zatem jeśli z=a+ib, gdzie a,b rzeczywiste, to z*=a-ib.

Będą nas interesować macierze zespolone 2x2. Dla takich macierzy A mamy definicje sprzężenia hermitoskiego A*, gdzie A* jest macierzą zespolenie sprzężoną i transponowaną do A. Mamy wtedy

(ξ,  Aξ') = (A* ξ, ξ') .

Macierze takie, że A=A* nazywamy hermitowskimi.

Definicja: Symetriami będziemy nazywać macierze J które mają następujące włąsności:

1) J=J*

2) J² = I (I to macierz jednostkowa)

3) Tr(J) = 0

Ad 1) Czyli J ma  być macierzą hermitowską. Każda taka macierz ma dwie rzecwywiste wartości własne.

Ad 2). Zatem wartości własne mogą być +1 lub -1

Ad 3) Ślad macierzy hermitowskiej to suma jej wartości własnych. Skoro ślad ma być zerem, to jedna wartość własna musi być +1, druga -1. Wykluczamy tym samym przypadki gdy obie wartości własne są +1 (wtedy J=I), lub gdy obie są -1 (wtedy J=-I).

W następnej notce znajdziemy, posługując się macierzami Pauliego, najogólniejszą postać symetrii. Zobaczymy, że mamy 1-1 odpowiedniość pomiędzy symetriami a punktami dwuwymiarowej sfery (dobre zadanko dla licealisty).

I kolejny fragment z mojego tajemniczego "poradnika". Podobają mi sie te zalecenia, dlatego je tu przedstawiam:

Pamiętaj, aby każdego dnia poświęcić trochę czasu na cichą medytację, modlitwę lub inną osobistą refleksję.  Praktykuj pozytywne afirmacje regularnie... w myślach, w sercu i na głos, kiedy to tylko możliwe.

Będziesz potrzebował tych pozytywnych afirmacji, aby pomóc sobie rozwinąć zdrowe poczucie miłości i współczucia wobec siebie i wobec innych.

Bądź otwarty na nowe możliwości, które się pojawiają... i ciesz się nimi. Nie zniechęcaj, nie krytykuj ani nie potępiaj siebie za błędy, które możesz popełniać po drodze.  Pozwól sobie uczyć się na tych błędach, i postrzegaj swoje doświadczenie jako ważną "lekcję", która pomoże ci rozwinąć bardziej kochającą, współczującą i dającą postawę wobec siebie i innych w przyszłości.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

Metryka indefinitna zabawka - na olejno

 Obiecałem sporządzenie syntetycznego obrazu krajobrazu – tego który tu ołówkiem i pędzlem maluję. Mam mniej więcej w głowie ideę tego co chce namalować, ale ta się zmienia w trakcie dodawania detali. Myślałem, że zrobię to jeszcze wczoraj, ale jakoś nie wyszło. Wczoraj i dziś wypadły mi rozjazdy. 

Toulouse, France

Tak czasem, szczęśliwie rzadko, wypada. Więc tę syntezę zacznę dzisiaj. Nie wiem czy mi się uda dziś skończyć, ale spróbuję. Jest 17:40, przed chwilą wróciłem, robię sobie herbatke i zaczynam malować, najpierw szkic ołówkiem, potem olejną. 

Obrazy olejne zdają się być bardziej cenione niż akwarele.

Płótnem jest zespolona przetrzeń wektorowa V=C² – przestrzeń zespolona, zbiór par (z,z') liczb zespolonych. Mógłbym wziąć płótno większe, powiedzmy C²ⁿ, n=2 lub n=4, lub wręcz dowolne n. Wiele szczegółów dałoby się z łatwością przeskalować na to większe płótno. Ale zacznijmy od małego. Wszak ma to być model-zabawka. 

Już w tej zabawce, jak zobaczymy,  kryje się nieskończona głębia. Trzeba tylko chcieć ją odkryć. Wtedy odkrywaniu nie będzie końca. To tak jak z fraktalem Mandelbrota: taki prosty algorytm, a tyle niespodzianek!

Wektory w V trzeba sobie wyobrażać jako wektory kolumienki. Zatem jeśli piszę u=(u1,u2), gdzie u1 i u2 są składowymi wektora u, to nalezy sobie wyobrażać kolumienkę, gdzie u2 stoi pod u1. Sprzężenie liczb zespolonych będę oznaczał *. Sprezężenie hermitowskie (transponowanie plus sprzężenie zespolone) będę oznaczał †

W naszym V mam zwykły dodatnio określony iloczyn skalarny

(u,v) = u† v = u1* v1 + u2* v2

Płótno przyszło z takim iloczynem skalarnym. 

Jednak natychmiast domaliwaliśmy tam “nasz autorski ” iloczyn skalarny, indefinitny

<u,v> = u1* v1 - u2* v2 .

To jest tło dla całego obrazu. On będzie jeden, jedyny indefinitny. Tych dodatnio określonych będzie zatrzęsienie. Można będzie łatwo sie w ich gąszczu pogubić. Ten (u,v) też w tym gąszczu się znajdzie, jako jedno z nieskończonej wielości włókien wiązki – niczym sie nie wyróżniające się.

I już mamy tło. Jednak musze skoczyć do sklepu po pędzle, bo potrzebne mi nowe, zatem na dziś na razie na tym skończę.