Thursday, November 17, 2022

Sama sobie sterem, żeglarzem, okrętem

I nie lgnie do niej fala, ni ona do fali.

A któż to taki? A któż by jesli nie ona - Pani Geodezyjna! Wielce jest tajemnicza. Wyznacza sobie kierunek i sie go trzyma. To jej definicja. Ale defincja - definicją a praktyka wymaga działań praktycznych. Od abstrakcji do praktyki - to ambitna droga. I dziś w nią wyruszymy.

Punktem wyjście jest twierdzeni od Helgasona wspomniane w poprzedniej notce:

Wygląda mocno abstrakcyjnie. Między innymi dlatego, że jest tak ogólne. My zastozojume je w szczególnym przypadku i od razu zrobi się przytulniej. Grupa G to będzie U(m,n) (lub SU(m,n)), a w tej notce nawet jeszcze konkretniej, bo weźmiemy G=SU(1,1). Grupą K będzie podgrupa stabilności zera - w tej notce to będzie K=S(U(1)xU(1)) - rozważalismy już to w jednej z poprzednich notek. (Na początek wybierzemy za centrum dysku punkt Z=0). Przestrzeń ilorazowa G/K to nasz dysk jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej.

W Twierdzeniu pojawiają sie też "algebry Liego". Tych jeszcze nie omawialiśmy. I omawiać nie będziemy. Po prostu chwycimy za lejce, pociągniemy, i ruszymy z kopyta.

Interesują nas jednoparametrowe podgrupy Ut), t - rzeczywiste,

U(0)=I, U(t)U(s) = U(t+s). Taką własność ma zwykła funkcja ekponencjalna, a jednoparametrowe podgrupy to uogólnienia eksponencjałów. W teorii grup ciągłych pojawia się twierdzenie: każda jednoparametrowa grupa macierzy ma postać:

U(t) = exp (tX)

gdzie X jest macierzą zwaną generatorem grupy U(t).

Rózniczkując w t=0 dostaniemy

X = dU(t)/dt |t=0.

I zaraz potem pojawia się kolejne twierdzenie: jeśli X i Y są generatorami jednoparametrowych podgrup grupy G, to komutator

[X,Y] = XY-YX

jest też generatorem jednoparametrowej podgrupy grupy G. Generatory tworzą przestrzeń liniową (rzeczywistą), a wraz operacją komutatora tworzą algebrę Liego (oznaczana przez g lub Lie(G) ) grupy G.

Nasza G to grupa operatorów unitarnych (względem undefinitnego iloczynu sklaranego <,>). Mając U(t), dla każdego t mamy

U(t)U(t)*=I

Jeśli U(t)=exp(tX), t∊R, to U(t)*=exp(tX*). Rózniczkując

e(tX)e(tX*)=I w t=0 dostaniemy

X+X*=0 lub X*=-X

Nasza algebra Liego składa się więc z macierzy antyhermitowskich. Na wszelki wypadek spradzamy, że komutator dwóch macierzy antyhermitowskich jest macierzą antyhermitowską, i już nam lepiej.

Nasze J-ty spełniają J^2=1, J*=J. Mając dane takie J możemy macierz antyhermitowską sprytnie rozłożyć na dwa antyhermitowskie składniki:

X = ½(X+JXJ) + ½(X-JXJ)

Pierwszy składnik komutuje z J, drugi antykomutuje z J. Ten własnie rozkład odpowiada rozkładowi algebry Liego g z twierdzenia 3.3 na sumę prostą

g = k + p

Jeśli X należy do k, to komutuje z J, zatem

exp(tX) J exp(-tX) = exp(tX) exp(-tX) J = J

Zatem X generuje podgrupę stabilności J-ta. Będę nas interesować X-y z p, te, według Twierdzenia, będą generować geodezyjnę. I je sobie teraz wygenerujemy.

Dla sygnatury (m,n) iloczyn skalarny jest zdefiniowany przez macierz J0 majacą na diagonali macierze blokowe (-I,+I). Macierz J0 odpowiada zarazem centrum dziedziny Z=0. Macierz X jest antyhermitowska (względem iloczynu skalarnego zdefiniowanego przez J0 wtedy i tylko wtedy gdy jej bloki A,B,C,D mają własności

A=-A*, D=-D*, C=B*

Taka macierz antykomutuje z J0 wtedy i tylko wtedy gdy A=D=0. Zatem algebra Liego p składa się z macierzy blokowych postaci

0 B

B* 0

Zajmiemy się teraz przypadkiem (1,1). Wtedy algebra p to macierze 2x2 postaci

0 u

u* 0

gdzie u jest liczbą zespoloną u = a+bi. Łatwo wyliczyć U(t)=exp(tX). Program Mathematica daje odpowiedź następującą:

U(t) =

a(t) b(t)

c(t) d(t)

gdzie, oznaczając r=|u|, mamy

a(t)=cosh(rt) , b(t) = u sinh(rt)/r, c(t)=u* sinh(rt)/r, d(t) =cosh(rt)

Ogólna macierz blokowa z U(m,1n) działa na Z-ty poprzez transformacje ułamkowo-liniowe

U.Z = (AZ+B)(CZ+D)^{-1}

Gddy startujemy z Z=0 dostajemy U.0 = BD^{-1}. W naszym szcególnym przypadku trajektorie przechodząc przez z=0 so postaci

z(t)=b(t)/d(t) = u tanh(|u|t)/|u|

Widać, że by otrzymac te trajektorie wystarczy wziąć |u|=1, zatem u=cos(fi)+i sin(phi). I tak zrobiłem dla fi od 0 2 pi co pi/12. Pozwoliłem t przebiegać od -10 do 10. Oto co dostałem

To są nasze geodezyjne. W kolejnej notce (w poniedziałek) narysujemy geodezyjne przechodzące przez inny punkt.

P.S. W przerwach pomiędzy geodezyjnymi dokształcam się podczytując o sprawach psychologii, bowiem ta mnie fascynuje. I tak przed chwilą (18/11/22 16:20), w jednej z książek, trafiłem na następujący fragment, który przyciągnął moją uwagę:

Pomyśl o wszystkich wspaniałych ludziach wokół ciebie ...i o tym, jakie masz szczęście, że zyskałeś ich przyjaźń, miłość i wsparcie. Zrozum, że są oni godni Twojego podziwu, szacunku i wdzięczności. Poświęć czas na uznanie dobre rzeczy o sobie, jak również wszystkie dobre rzeczy, które inni powiedzieli lub zrobili dla ciebie... i zachowaj te myśli mocno w pamięci, aby móc je później wykorzystać.

Praktykuj proste akty dobroci każdego dnia... zwłaszcza wobec tych, którzy na nie nie zasługują.

Bądź hojny ze swoim czasem i swoim sercem.

Bądź łagodny i wyrozumiały, gdy czujesz, że inni zrobili źle... i proś o przebaczenie, gdy sam jesteś winny.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

Mam nadzieję, że przytaczając ten fragment tutaj nie wywołam żadnych złych skutków

P.S.2

I coś