Od magmy do półgrupy i grupy

 Magma to zbiór wyposażony w operacje mnożenia, na ogół niełaczną. Gdy operacja ta jest łączna, wtedy taka magmę nazywamy półgrupą.

Niech G będzie półgrupą, wtedy możemy opuścić nawiasy. Skoro bowiem (ab)c=a(bc)), możemy to "słowo" zapisac po prostu jako abc.

Możemy teraz zdefiniowac "potęgi"

a¹=a

aⁿ = a a^n-1.

Łatwo wtedy się przekonać, że

a^m aⁿ = a^m+n .

(a^m)ⁿ = a^mn

Definicja: Pólgrupę G nazywamy grupą jesli posiada ona element e taki, że

1) ea=ae dla każdego a z G

oraz

2) dla każdego a z G istnieje taki b z G, że

ab = e = ba.

Ćwiczenie 0: Udowodnij, że każda grupa jest, w szczególności,  półgrupą. 

W grupie raźniej

Ćwiczenie 1: dla każdego a element b o własnościach 2 jest jedyny. 

Oznaczmy go przez a^-1. 

Ćwiczenie 2: Pokazać, że e^-1 = e.

Ćwiczenie 3: Jesli G jest grupą, zaś a jej elementem, to mamy

(a^-1)^-1. = a.

W grupie może zatem zdefiniować  ujemne potegi każdego elementu

a^-n =(a^-1)ⁿ.

Ćwiczenie 4:

Jeśli G jest grupą i a₁,...,a_n są jej elementami, to

(a₁a_2...a_n)^-1 =(a_n)^-1...(a₂)^-1(a₁)^-1.

Przykład grupy: Nie X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Przez Aut(X) oznaczamy zbiór wszystkich wzjemnie jednoznacznych odwzorowań f: X → X. Wtedy Aut(X) jest grupą za względu na operację składania owzorowań fg = f∘g, gdzie

(f∘g)(x) = f(g(x)).