Wyliczenie t(Z,Z')

 W każdym z nas jest to co wielkie, i jest także to co małe.

Menzius powiedział:

Ci, którzy podążają za tym co w nich jest wielkie – stają się wielkimi ludźmi. Ci, którzy podążają za tym co jest w nich małe – stają się małymi ludźmi.

I teraz już mozemy zabierać się do wyliczenia t(J,J'). Podstawą będzie ta formuła z pliku pdf linkowanego w jednej z poprzednich notek. Zamiast J-tów będziemy używać Z-tów.

Weźmy 

U = t(0,Z). 

Mamy

t(0,Z) ∙ Z = 0

Połóżmy 

t(0,Z) ∙ Z'=Z''

Wtedy

t(0,Z)t(Z,Z')t(0,Z)* = t(0,Z'')

Stąd

t(Z,Z') = t(0,Z)*t(0,Z”)t(0,Z)

Wyliczenie t(Z,Z') sprowadza się zatem do wyliczenia Z'', a formułę na t(0,Z) dla dowolnego Z już mamy.

Zapiszemy t(0,Z) w postaci blokowej A,B,C,D. Wtedy 

Z'' = (AZ'+B)(CZ'+D)^-1 = (A* + Z'B*)^-1(C*+Z'D*) .

 Teraz już tylko rachuneczki. Gdy wyliczę - notkę dokończę.

A tego warto posłuchać:

Marcin Hagmajer: Antypolskie ustawy rządzących to dyktat NATO celem wepchnięcie nas do
wojny z Rosją

Centrum Edukacyjne ...

Rozwiązanie problemu z notki "Geodezyjne na dysku Poincarégo I"

 W "Geodezyjne na dysku Poincarégo I" napisałem coś takiego:

Lemat: Dla dowolnych pary różnych punktów z,z' na dysku istnieje element g grupy SU(1,1) taki, że

gz=0

gz'= x+0i, gdzie x>0

Dowód:

Dowód jest elementarny gdy użyjemy tego co już wiemy. Pozostawiam jako zadanie domowe dla uważnego Czytelnika. 

To było przed trzema tygodniami. Trochę wody w międzyczasie upłynęło. Czekałem, czekałem. W końcu postanowiłem sam zostać tym uważnym czytelnikiem i dziś przedstawię rozwiązanie w pełnej ogólności, w sygnaturze (n,m), a nie tylko (1,1) jak to było na początku. Bowiem czas nie stoi w miejscu, płynie do przodu, czasem się cofa - jak dziś rano, gdy przestawiałem wskazówki w zegarach w domu. Bo zegarów mam całe mnóstwo.

Najpierw ilustracja do notki. Zamieszczam ją już teraz, dla niecierpliwych nie mogących spać Czytelników.

I będę pisał wyjaśnienia i w miarę pisania tę notkę uzupełniał.

Wyjaśnienia do obrazka.

Zielony dysk obrazuje dziedzinę D w (m+n) wymiarowej przestrzeni zespolonej C^n+m

Dziedzina D jest ograniczona ("bounded domain") - jej punktami są macierze prostokątne Z mxn (m wierszy, n kolumn) , spełniające ograniczenie:

Z*Z < I_m

lub, co na jedno wychodzi:

ZZ*< I_n

W przypadku (1,1) mielibyśmy po prostu |z|< 1. W przypadku ogólnym macierze Z i Z* nie są na ogół ze sobą przemienne, więc trzeba uważać na kolejność.

W D mamy dwa różne punkty Z i Z'. Król Z i królowa Z' - jeśli ktoś woli mieć przed oczyma konkrety.

Skupmy najpierw uwagę na krółu, t.j. na Z. Mamy do dyspozycji konektor t(0,Z). 

Postać jawną tego konektora wyliczyliśmy na samym końcu pliku pdf dyskutowanego w notce 

Ogólny Przypadek U(m,n) - Część II.

Konektor działa na Z przez transformację ułamkowo liniową (AZ+B)/(CZ+D) (poprawniej:

(AZ+B)(CZ+D)^{-1} ) i przeprowadza Z w 0. Działa też na Z' i przeprowadza to Z' w jakieś Z''.

Teraz król jest w centrum dysku, jak na króla przystało, królowa znalazła się w punkcie Z''.

To jedna transformacja. Złożymy ją z kolejną, obracając cały wszechświat - t.j. dziedzinę D, wokół króla. Zauważmy, że transformacja z B=C=0 przeprowadza 0 w 0. Taką transformację teraz zastosujemy. Z podgrupy U(m)xU(n) ⊂ U(m,n).

A konkretnie jaką?

Przyjrzyjmy się królowej - t.j. macierzy Z''. Odwołamy się do notki Lemat prostokątny z użyciem SVD. Tam znajdziemy:

.. tzw. Singular Value Decomposition Theorem (SVD), które to twierdzenie przytoczę dosłownie z Wikipedii (angielskiej):

SVD Theorem

Specifically, the singular value decomposition of an  complex matrix M is a factorization of the form  where U is an  complex unitary matrix,  is an  rectangular diagonal matrix with non-negative real numbers on the diagonal, V is an  complex unitary matrix, and  is the conjugate transpose of V. Such decomposition always exists for any complex matrix.  

My zamiast Σ będziemy używać symbolu Λ, zamiast M będzie u nas Z. Zatem nasz rozkład będzie postaci

Z = UΛV*

Użyjemy tego SVD by rozłożyć na czynniki królową, aktualnie Z''. Niech zatem 

Z'' = UΛV*

Z macierzy U i V budujemy macierz blokową, powiedzmy U z blokami

A = U*, B = C= 0, D = V*

Zatem  U = 

U* 0

0  V*

Macierz ta należy do U(m) x U(n) ⊂ U(m,n). Działamy tą macierzą na królową Z''. Obracamy ją wokół króla. Przechodzi w jakieś Z'''.

Z''' = (AZ''+B)(CZ''+D)^{-1}=(U*(UΛV*))(V*)^{-1}= U*UΛV*V = Λ

Król pozostaje w centrum, królowa staje się diagonalna (na ile ją na to stać, bowiem jest prostokątna) i nieujemna. Nie mogę powiedzieć, że jest dodatnia, bowiem Λ może mieć jakieś zera na przekątnej. Ale nie same zera! Gdyby miała same zera, zlałaby się z królem, co jest u nas niedopuszczalne, bowiem załoąyliśmy na początku, że mamy dwa różne punkty Z,Z'.

Podsumowując: złożenie (iloczyn macierzy) U∘t(0,Z) jest macierzą z U(m,n) rozwiązującą nasz problem.

Do tego dochodzą teraz jeszcze dwie uwagi rozjaśniające (lub zaciemniające?) całą sprawę. 

1) Rozkład SVD nie jest  jednoznaczny. Nam to nie przeszkadza, ważne jest, że taki rozkład istnieje. By zobaczyć niejednoznaczność weźmy prosty przykład. Przypuśćmy, że m=n, i że Z, które rozkladamy jest proporcjonalne do macierzy jednostkowej Z= a I, |a|<1. Wtedy

Z = U aI U* dla dowolnego unitarnego U.

2) Ten środek dysku, punkt 0, nie jest tak naprawdę wyróżniony. Dowolny punkt wewnątrz dysku możemy uczynić jego "środkiem"  wybierając odpowiednią bazę. Rzecz w tym, że wystartowaliśmy, by było mnie abstrakcyjnie, od X=C^(m+n), czyli od konkretnej realizacji (m+n)-wymiarowej przestrzeni liniowej zespolonej. Tam jest uprzywilejowana baza ortonormalna, uprzywilejowane J_0. Moglibyśmy jednak wystartować od ogólnej przestrzeni z indefinitnym iloczynem skalarnym < , > o sygnaturze (n,m). Każde J moglibyśmy wziąć jako J_0. Zamiast macierzy rozważalibyśmy wtedy operatory liniowe. Przy wyborze bazy operator jest reprezentowany przez macierz. Z macierzami raźniej. Z operatorami bardziej abstrakcyjnie. Dobrze jest bawić się macierzami, ale też dobrze wiedzieć, że tak naprawdę D jest przestrzenią jednorodną: nie ma tam uprzywilejowanych punktów. Innymi słowy: trzeba umieć abstrahować, zapominać, gdy trzeba,  o tym co nie jest istotne. Skupiamy się na tych własnościach, które są niezmiennicze ze względu na działanie grupy U(m,n). Tak Feliks Klein zdefiniował "geometrię" - to badanie tych własności, które są niezmiennicze ze względu na działanie danej grupy.