Geodezyjne na dysku Poincarégo I

 Mając dwa punkty na dysku, z i z' chcemy znaleźć najkrótszą drogę prowadzącą z punktu z do punktu z'.

"Najkrotszą"? Co to znaczy najkrótszą? Najkrótszą względem metryki Riemanna wprowadzonej w notce

Metryka Riemanna na dysku Poincarego

Metryka ta, z samej konstrukcji,  jest SU(1,1) niezmiennicza. Wiemy, że grupa SU(1,1) działa na dysk, działanie to jest tranzytywne. Jeśli d(z,z') jest odległością pomiędzy z i z', i jesli g jest elementem SU(1,1), to 

d(gz,gz') = d(z,z').

Zatem g będzie przeprowadzało linie geodezyjne w geodezyjne. 

I teraz pomocny będzie lemat:

Lemat: Dla dowolnych pary różnych punktów z,z' na dysku istnieje element g grupy SU(1,1) taki, że

gz=0

gz'= x+0i, gdzie x>0

Dowód:

Dowód jest elementarny gdy użyjemy tego co już wiemy. Pozostawiam jako zadanie domowe dla uważnego Czytelnika.