Dysk jako przetrzeń jednorodna II

Things work out best for those who make the best of how things work out.

~John Wooden 

Jak więc działa SU(1,1) na dyski? Wiemy, że działa - patrz 

Dysk jako przetrzeń jednorodna I

Ale jak?  Aby "make the best how things work out" chcemy zobaczyć to kawa na ławę, jawnie, w całej swej nagości,  I zobaczymy. Nagość okaże sie nieliniowa - jak od nagości należy oczekiwać. Ale nie przesadnie nieliniowa. Znośnie niliniowa. Ściślej: ułamkowo-liniowa. 

Zatem do pracy!

W notce "Oda do wartości własnych II" zacytowałem motto z książki Cecelia Ahern, "Kiedy cię poznałam". Oto jej pasujący tu fragment:

..Wtedy  uformowałam  się  Ja,  taka,  jaką znam  siebie  i  jaką  znają  mnie  wszyscy  inni.  Moje  życie zaczęło  się,  kiedy  miałam  pięć  lat.  Wiedza,  że  umrę,  obudziła we  mnie  coś,  co  noszę  w  sobie  do  dziś:  świadomość,  że  choć czas  jest  nieskończony,  to  mój  czas,  owszem  –  mój  czas ucieka.  Zdałam  sobie  sprawę,  że  moja  godzina  i  godzina kogokolwiek  innego  nie  są  sobie  równe.  Nie  możemy  jej spędzić  tak  samo,  nie  możemy  o  niej  myśleć  tak  samo.  Wy róbcie  ze  swoimi,  co  wam  się  podoba,  ale  mnie  w  to  nie wciągajcie;  ja  nie  mam  godzin  do  stracenia.  Jeśli  chcesz  coś zrobić,  musisz  to  zrobić  teraz.  Jeśli  chcesz  coś  powiedzieć, musisz  to  powiedzieć  teraz.  A  co  ważniejsze,  musisz  to zrobić  osobiście.  To  twoje  życie,  to  ty  umrzesz,  to  ty  stracisz wszystko.  Moim  sposobem  bycia  stało  się  działanie, wprowadzanie  myśli  w  czyn.  Zawrotne  tempo  czasami pozbawiało  mnie  tchu;  ledwie  udawało  mi  się  nadążyć  za samą  sobą.  Często  goniłam  samą  siebie,  może  rzadko doganiałam; byłam szybka."

Uwaga: treść tej notki pokrywa się częściowo z treścią "From SU(1,1) to the Lorentz group" . 
Jest tam zresztą więcej notek o podobnej treści. Patrz All posts.

"Jeśli  chcesz  coś zrobić,  musisz  to  zrobić  teraz.". Zatem zróbmy to teraz. Przypomnijmy ogólną postać macierzy z grupy SU(1,1) - patrz notka: Dysk jako przetrzeń jednorodna I

Zatem odtąd nasza parametryzacja grupu SU(1,1) będzie nastepująca:

Mamy więc S postaci Sz jak tutaj:

Oraz mamy U z grupy S(1,1), wiemy, że S1 = U Sz U* jest też tej postaci, dla innego z, powiedzmy dla z1.

Jaki jest związek pomiędzy z1 a z? By na to pytanie odpowiedzieć zaprzęgłem do pracy program Mathematica. Oto kod i wyniki:

Czyli wynik jest taki

z1 = (λ* z + μ*)/(μ z + λ)

Jeśli ogólnie U zapiszemy w postaci tabelki

a b
c d

to

 z1 = (dz+c)/(bz +a)

Takie działanie nazywamy ułamkowo liniowym. Jest nieliniowe, bowiem zawiera również dzielenia przez funkcję (liniową tutaj) od zmiennej z.

I to jest działanie grupy S(1,1) na dysk. Ciekawe jest to, że działanie to rozszerza się także na brzeg dysku - na "czas". Przyjrzymy sie temu w następnej notce.

P.S. Pisząc tę notkę przyszła mi do głowy (przysięgam: po prostu "przyszła", no, może "przyfrunęła") nowa idea: jak skonstrować geodezyjne na dysku czystą prostą algebrą. Tichy taka uwielbia. Gdy ją zweryfikuję (ewentualnie sfalsyfikuję), podzielę się nią z Czytelnikami. Zdradzę tylko, że idea jest zaczerpnięta z mechaniki kwantowej, gdzie rozważamy maksymalne komutujące rodziny obsserwabli jako opisujące "kompletne pomiary". Intuicja mi mówi, że idea jest dobra.