Geodezyjne na dysku Poincarégo I

 Mając dwa punkty na dysku, z i z' chcemy znaleźć najkrótszą drogę prowadzącą z punktu z do punktu z'.

"Najkrotszą"? Co to znaczy najkrótszą? Najkrótszą względem metryki Riemanna wprowadzonej w notce

Metryka Riemanna na dysku Poincarego

Metryka ta, z samej konstrukcji,  jest SU(1,1) niezmiennicza. Wiemy, że grupa SU(1,1) działa na dysk, działanie to jest tranzytywne. Jeśli d(z,z') jest odległością pomiędzy z i z', i jesli g jest elementem SU(1,1), to 

d(gz,gz') = d(z,z').

Zatem g będzie przeprowadzało linie geodezyjne w geodezyjne. 

I teraz pomocny będzie lemat:

Lemat: Dla dowolnych pary różnych punktów z,z' na dysku istnieje element g grupy SU(1,1) taki, że

gz=0

gz'= x+0i, gdzie x>0

Dowód:

Dowód jest elementarny gdy użyjemy tego co już wiemy. Pozostawiam jako zadanie domowe dla uważnego Czytelnika. 

Konektory - wartości własne

The distance between insanity and genius is measured only by success.

~Bruce Feirstein 

Przypomnijmy, że przy danych S,S' z S(V) konektor t(S,S') jest dostanim pierwiatkim kwadratowym z operatora SS'. Prosta i miła definicja.  

Pierwiatek kwadratowy? Cóz prostszego?! A, że także miłego - za chwilę się o tym przekonamy. Macierze S,S' mają wyznaczniki równe -1. Stąd SS' ma wyznacznik 1. I tak samo t(S,S'). Wyznacznik diahonalizowalnej macierzy to iloczyn wartości własnych. Niech λ>0 będzie wartością własną SS'. Wtedy druga wartość włąsna to 1/λ. Wartościami własnymi t(S,S') będą więc √λ i 1/√λ . Wystarczy teraz znaleźć λ.

Oznaczmy przez tr ślad macierzy SS'. Ślad diagonalizowalnej macierzy to suma wartości własnych. Zatem

tr =  λ +1/λ

Proste równanie kwadretowe na λ, możemy z niego wyrazić λ przez tr. Oto wynik:

λ = ½ (tr ∓ √(tr²-4) )

Teraz wystarczy jedynie znaleźć tr(SS'), podstawić do tej ostatniej formuły i mamy wynik. Tyle, że rachunki są nieco żmudne. Nie wiem jak z Tobą, ale gdy mam program komputerowy, który moż żmudną pracę wykonac za mnie, staję się bardzo leniwy. Wole i dzień zużyć na napisanie poprawnego kodu, niż poświęcić go na zapisywanie kartekm papieru i poprawianiu pomyłek.. Punktem wyjścią jest formuła na S wyrażone przez z we wnętrzu dysku:

Do Mathematica wprowadzam więc S i S', wymnażam te macierze, obliczam ślad, wyrażam lambę przez ślad. Otrzymuję  wynik na pierwszy rzut oka przerażający. Drukuję sobie ten wynik na kartce papieru i przyglądam się, jakby go można było ładnie zapisać? Wreszcie zaczyna mi świtać w głowie jak pozbierac razem różne wyrazy. Zgaduję wynik, i wtedy sprawdzam, czy jest tym samym, co ten wypluty świerzo przez komputer. I oto mój wynik ostateczny:

A stąd mamy też wartości własne t(S,S')

Oczywiście sprawdziłem przedtem, że wyarażenie w liczniku jest, dla z i z' we wnętrzu dysku,  zawsze nieujemne! Niedługo zobaczymy jaki jst związek tej formuły z formułą na odległość dwóch punktów dysku w nie-euklidesowej geometrii Łobaczewskiego-Bolyai.

Kolejne zadanie to znalezienie jawnej postaci konektorów. Czeka nas to zadanie.

Konektory unitarne

 Prolog

Algebra - algebrą, geometria - geometrią, a treść - treścią> popatrzmy na ten obrazek:

Co widzimy? Widimy urocze stworzenia. Symbol spokoju. Słodki i potulny. To dla mnie. A dla wilka? Dla wilka to poruszająca się kupka ciepłego mięsa. Niepotrzebnie ma tę wstrętna niejadalną sierść. I te uszy - tez trudno je przeżuć. Czy wilk mógłby na baranka popatrzeć tak jak my? Czy mozna wilka nauczyć tej innej perspektywy? Czy wilk może baranka pokochać, otoczyć opieką? W bajkach zapewne może. Ale w rzeczywistości? 

W rzeczywistości też może - tyle, że potrzebna wilkowi chęć wiedzy i sama wiedza.

Popatrzmy teraz na ten obrazek:

Widzimy seledynowy (mam nadzieję, że tak się ten kolor nazywa) dysk. Widzimy czarny okrąg - brzeg dysku. Brzeg dysku symbolizuje rzeczywistość materialną  - "trzecią gęstość". W naszym modelu zabawce to tylko "czas" (uwierzcie mi). Mamy tam dwa punkty materialne, kółka zębate,  A1 i A2 - rozdzielone czasem. Nic o sobie nie wiedzą. Jeśli jednak wyjdą, choć tylko nieco,  poza czas, w geometrię wnętrza dysku, ich "dusze", oznaczone jako serduszka,  S1 i S2 mogą się  połączyć "konektorem". Dzisiaj te konektory zbudujemy. Algebraicznie.

Konstrukcja konektora.

W poprzedniej notce z każdym z we wnętrzu dysku związaliśmy symetrię S, a z każdą taką symetrią dodatnio określony iloczyn skalarny < , >_S w C².

Twierdzenie 1:

Dla dowolnych dwóch punktów z₁,z₂ we wnętrzu dysku operator S₁S₂ jest hermitowski dodatni zarówno względem iloczynu skalarnego < , >S₁ jak i < , >S₂.

Twierdzenie 2. 

Operator t_1,2 zdefiniowany jako (S₁S₂)^1/2 jest unitarny względem < , >

Dowody tych twierdzeń są proste prościutkie. Pozostawiam je jako zadania domowe dla licealistów.

Te operatory t_1,2 to konektory łączące dusze. Co odważniejsi Czytelnicy moga nawet zechcieć znaleźć wartości własne konektorów i zobaczyć co się z nimi dzieje gdy punkty zbliżają się do brzegu.

Przejścia fazowe model zabawka 5

 Postanowiłem jednak zmienić pierwotnie pomyślany model. Rzecz w tym, że nie wiem jeszcze jak go zrobić. Wiem, że jakoś się da, ale jak dokładnie? Tego jeszcze nie wiem. Tak zresztą jest u mnie z wieloma rzeczami. Próbuję - nie wychodzi. Wtedy robię to, co wychodzi. A to co nie wychodzi - w końcu jakoś samo wyjdzie. Chciałem robić z dwu-wymiarową sferą. Sfera - zbiór zwarty, obejmowalny jednym spojrzeniem. Co nie znaczy, że prosty.  Najpierw jednak zrobię zbiór niezwarty - dysk Poincarego. Grupa konformna w piaskownicy. Lubię konforemność. Tworzyłem na dysku fraktalne kompozycje - to było na innym blogu. Takie jak ta: Życie jakie znamy

I do tego chcę wrócić. I wracam. Dopóki nie wymyslę jak zastąpić dysk Poincarego sferą.

Jka i ze sferą punktem wyjścia jest dwuwymiarowa przestrzeń zespolona V = C². Wyposażamy ją jednak w metrykę indefinitną. Mając dwa wektory u=(u₁,u₂), v=(v₁,v₂) definiujemy ich iloczyn skalarny z minusem a nie z plusem

<u,v> = u₁*v₁ - u₂*v₂

_{gdzie * oznacza sprzężenie zespolone. Metryka jest indefinitna. Wektor u=(1,0) ma "kwadrat normy" równy +1, wektor v = (0,1) ma "kwadrat normy" równy -1.}

Interesuje nas zbiór wszystkich jednowymiarwych podprzestrzeni w V o dodatnim "kwadracie normy". Dlaczego tych? Bowiem w mechanice kwantowej prawdopodobieństwa winny jednak być dodatnie. Te podprzestrzenie będą punktami na dysku. Dysk ma "brzeg" - to okrąg. Ten brzeg to będą jednowymiarowe podprzestrzenie o zerowym kwadracie normy. Przykładem wektora o tej własności jest wektor u=(1,1). Dla niego mamy

<u,u>= 1-1=0.

Cdn.