Prolog
Algebra - algebrą, geometria - geometrią, a treść - treścią> popatrzmy na ten obrazek:
Co widzimy? Widimy urocze stworzenia. Symbol spokoju. Słodki i potulny. To dla mnie. A dla wilka? Dla wilka to poruszająca się kupka ciepłego mięsa. Niepotrzebnie ma tę wstrętna niejadalną sierść. I te uszy - tez trudno je przeżuć. Czy wilk mógłby na baranka popatrzeć tak jak my? Czy mozna wilka nauczyć tej innej perspektywy? Czy wilk może baranka pokochać, otoczyć opieką? W bajkach zapewne może. Ale w rzeczywistości?
W rzeczywistości też może - tyle, że potrzebna wilkowi chęć wiedzy i sama wiedza.
Popatrzmy teraz na ten obrazek:
Widzimy seledynowy (mam nadzieję, że tak się ten kolor nazywa) dysk. Widzimy czarny okrąg - brzeg dysku. Brzeg dysku symbolizuje rzeczywistość materialną - "trzecią gęstość". W naszym modelu zabawce to tylko "czas" (uwierzcie mi). Mamy tam dwa punkty materialne, kółka zębate, A1 i A2 - rozdzielone czasem. Nic o sobie nie wiedzą. Jeśli jednak wyjdą, choć tylko nieco, poza czas, w geometrię wnętrza dysku, ich "dusze", oznaczone jako serduszka, S1 i S2 mogą się połączyć "konektorem". Dzisiaj te konektory zbudujemy. Algebraicznie.
Konstrukcja konektora.
W poprzedniej notce z każdym z we wnętrzu dysku związaliśmy symetrię S, a z każdą taką symetrią dodatnio określony iloczyn skalarny < , >S w C2.
Twierdzenie 1:
Dla dowolnych dwóch punktów z1,z2 we wnętrzu dysku operator S1S2 jest hermitowski dodatni zarówno względem iloczynu skalarnego < , >S1 jak i < , >S2.
Twierdzenie 2.
Operator t1,2 zdefiniowany jako (S1S2)1/2 jest unitarny względem < , >
Dowody tych twierdzeń są proste prościutkie. Pozostawiam je jako zadania domowe dla licealistów.
Te operatory t1,2 to konektory łączące dusze. Co odważniejsi Czytelnicy moga nawet zechcieć znaleźć wartości własne konektorów i zobaczyć co się z nimi dzieje gdy punkty zbliżają się do brzegu.
Zadanie 1.
ReplyDeleteZ definicji:
((x,x’))=(x,Jx’)
((x,x’))_S=((x,Sx’))=(x,JSx’),
gdzie (( , )) oznacza indefinitny iloczyn skalarny.
Kładąc x'=S1S2x mamy
((x,S1S2x))_S1=((x,S1S1S2x))=(x,J S1S1S2x)
oraz
((x,S1S2x))_S2=((x,S2S1S2x))=(x,J S2S1S2x)
Z dowodu z poprzedniej notki wiemy, że operatory JS1 oraz JS2 są hermitowskie oraz dodatnio określone. S1 i S2 też są hermitowskie. Wobec tego operatory S1S1S2 oraz S2S1S2 też będą hermitowskie (iloczyny tylko dwóch byłyby antyhermitowskie).
Stąd J S1S1S2 oraz J S2S1S2 także będą hermitowskie oraz dodatnio określone.
Nie rozumiem: S1S1S2 czemu jest hermitowski?
Delete(iloczyny tylko dwóch byłyby antyhermitowskie)? Dlaczego?
DeletePamiętajmy, że hermitowskość milcząco jest tu względem indefinitnego iloczynu skalarnego.
Tam mamy S2S1S2. S1 i S2 są hermitowskie. Więc tak będzie:
Delete(S2S1S2)^*=(S2(S1S2))^*=(S1S2)^*S2^*=S2^*S1^*S2^*=S2S1S2.
To jasne. Dobrze. Jednak to nie jest odpowiedź na moje pytania z 12:29 i 12:31.
Delete"Widzimy seledynowy (mam nadzieję, że tak się ten kolor nazywa) "
ReplyDeleteTurkusowy.
Mam problemy z odróżnianiem kolorów niebieski-zielony. I am blue-green color blind.
DeleteMam spore trudności ze śledzeniem tych wpisów. Może dlatego, że śledze z doskoku. Ale zorientowanie się o czym akurat mowa zajmuje wiele czasu i żmudnego skakania po "poprzednich" notkach, fragmencik wyjasniony tu, inny - gdzie indziej, a jeszzce inny - nie wiadomo gdzie.
ReplyDeleteWygląda na to, że autor przepisuje z brudnopisu, stos kartek maczkiem zapisanych dla niego dostępny, a dla czytelnika - nijak.
Dochodzi do tego koszmarna typografia. Już wcześniej Autor zastanawiał się nad renderowaniem LaTeX - niejasne czy blogspot na to zezwala. A mieszanka ASCII i Rich Format (na to ewidentnie blogspot zezwala) jest mocno niestrawna. Nie pomagają liczne "wdowy" i "sieroty" (to takie typograficzne eufemizmy na katowanie zapisu).
Np., rąbanie formuł i wzorów na cząstki, gdy tekst przechodzi od linii do linii. Nawet w tym ubogim typograficznie blogspocie możen przecież toto przeredagować by nie kluło w oczu i nie mąciło umysłu. W jednej z "poprzednich" notek, jedno z twierdzeń zaczyna się od lekko pompatycznego sformułowania
"Dla każdego z, |z| <1,"
Co powoduje rozbicie iloczynu skalarnego < . > na
"bra" i "ket".
(koszmarek). A można by zatsnaowić się, i napisac:
"Jezeli "z"<1, to..."
I wtedy nie ma rozbicia na wdowę i sierotę.
PS. Na innycg blogach na blogspot istnieje opcja podglądu komentarza. Gdyby była tutaj, to bym widział, co napisałem, a tak nie widze, bo okienko maciupcie, i widac ylko fragment, trzeba by skrolowac tam i siam jak jaki głupek. Więc sam nie wiem, com napisał. Może bym co przeredagował...
Dziekuję.
ReplyDeleteZmieniłem "Comment location" na "Full page". Może to pomoże. Tymczasowo. A nad renderowaniem latexu będę pracował.
W kolejnej notce zbiorę wszystkie definicje i własności do kupy - jako punkt odniesienia.
"W kolejnej notce zbiorę wszystkie definicje i własności do kupy - jako punkt odniesienia.".
ReplyDeleteTo faktycznie byłoby niezwykle pomocne.
A tymczasem: bardziej "abstrakcyjna" wersja tej części serii jest tutaj. W szczególności problem-zadanie z tej notki jest jako Lemma 3.1, str. 270. Tylko oznaczenia są nieco inne. Zamiast S-ów są tam J-ty.
ReplyDeleteW kwestii poprzedniego Twojego pytania Arku:
ReplyDeleteS1 jest macierzą hermitowską, zatem
S1S1*=S1S1=S1*S1
Możemy sobie więc napisać:
S1*S1S2.
S2 też jest hermitowska, więc zachodzi:
(S1S2)*=S2*S1*=S2S1 i na odwrót.
Mamy zatem analogię tego, co w poprzednim przykładzie, czyli
S1*S2*S1*=S1S2S1, a to jest hermitowskie.
Nie jest to najważniejsze, acz kolor dysku z obrazka to bodajże Aqua: https://en.wikipedia.org/wiki/Aqua_(color)
ReplyDeleteTak to w końcu będzie jakoś wygladać:
ReplyDeletehttps://www.facebook.com/watch/?v=320609663574496
Moim zdaniem nie jest to bynajmniej wygodne, kiedy notka jest osobno i komentarze osobno...
ReplyDelete@Liwiusz
ReplyDelete"Moim zdaniem nie jest to bynajmniej wygodne, kiedy notka jest osobno i komentarze osobno.."
Jest okej. Zauważ, możesz naciskając u góry "Show Original Post" rozwinąć cały post, który jest w nieco bardziej skondensowanej formie niż oryginał. Gorzej wygląda, aczkolwiek jest on już przeczytany, więc tyle starczy. Można też ten sam post ukryć i skupić się na komentarzach, które znacznie lepiej wyglądają, bardziej przypominają jakiś fragment forum internetowego niż bloga. Jak dla mnie OK.
Format komentarza zmieniłem na próbę na "popup window".
ReplyDeleteMoim zdaniem wyskakujące okienka, to jedno z gorszych rozwiązań. Skakanie między oknami, to chyba jedna z najgorszych możliwości - mało to poręczne. Do tego brak informacji jakiego postu dotyczy to okienko z komentarzami.
ReplyDelete"Co odważniejsi Czytelnicy moga nawet zechcieć znaleźć wartości własne konektorów i zobaczyć co się z nimi dzieje gdy punkty zbliżają się do brzegu.".
ReplyDeleteMasz na myśli |z| bliski 1?
Dobrze. Wróciłem zatem, póki co, do "full page".
ReplyDelete"Dobrze. Wróciłem zatem, póki co, do "full page""
ReplyDeleteDziękuję.
"Masz na myśli |z| bliski 1?"
ReplyDeleteJeden z z-tów. Drugi może być nawet z=0.