Geodezyjne na dysku Poincarégo II - pola Killinga

 Pezypuśćmy, że Lemat z poprzedniej notki Geodezyjne na dysku Poincarégo I został udowodniony. Do dowodu wystarcza trochę ambicji, rozumienie materiału poprzednich notek i zwykła logika - i dowodzik leci. To tak jak z układanką: trzeba pozbierać pasujce do siebie kawałki i je odpowiednio ułożyć.

Tym samym redukujemy problem znalezienia równań geodezyjnych łączących dwa punkty do poblemu znalezienia geodezyjnych przechodzących przez środek dysku z=0.

Geodezyjne na dysku Poincarego (obrazek z pracy Hyperbolic Geometry on the Half-Plane and

Poincare Disc

Aiden Sheckler

May 2018

Jak je znaleźć? Można z definicji używając rachunku wariacyjnego i równań Eulera-Lagrange'a. Jednak oczytany Czytelnik znajdzie łatwiejszy sposób. Warto znać łatwiejsze sposoby, warto zatem studiować. Na stronie Czym w ogólnej teorii względności są wektory Killinga? UW znajdziemy:

Okazuje się też, że każde pole Killinga definiuje stałą ruchu cząstki swobodnej czyli cząstki poruszającej się wyłącznie pod wpływem pola grawitacyjnego. Przypuśćmy, że X⃗  jest polem Killinga metryki g, a λ↦γ(λ) linią świata cząstki swobodnej — linia świata takiej cząstki jest tzw. krzywą geodezyjną czyli uogólnieniem linii prostej na przypadek zakrzywionej czasoprzestrzeni. Jeżeli symbolem γ⃗  oznaczymy wektor styczny do linii świata γ to wielkość

g(γ⃗ ,X⃗ )

nie zmienia się wzdłuż tej linii świata czyli jest stałą ruchu cząstki swobodnej. 

Przy kopiowaniu strzałeczki nad wektorami się nieco tu przesunęły w prawo. Nie jest to najjaśniejsze, jednak zostało wprowadzone tu pojęcie pól wektorowych Killinga. By się czegoś o nich naprawdę dowiedzieć nie ma rady - musimy zajrzeć do Wikipedii angielskiej, bo polska jest uboga - najwyraźniej nie mamy zbyt wielu studentów i pracowników nukowych znających ten temat. Dlatego rzeczą konieczną dla każdego, kogo choć trochę iunteresuje nauka, jest dobra znajomość języka angielskiego (francuski, niemiecki  rosyjski, też są wskazane).. Po hasłem Killing vector field znajdziemy tam:

Each Killing vector corresponds to a quantity which is conserved along geodesics. This conserved quantity is the metric product between the Killing vector and the geodesic tangent vector. 

I z tego skorzysztamy, Oczywiście by z tego skorzystać będziemy musieli najpierw zrozumieć co to są te pola Killinga, ujarzmić je, oswoić. Zrobimy to w kolejnej notce.

I w następnej notce dam też wskazówki jak udowodnić ten nieszczęsny lemat z poprzedniej notki. Wskażę na kawałki układanki które należy złożyć razem. 

Metryka Riemanna na dysku Poincarego

Dziś wyposażymy dysk w metrykę Riemanna. Metryka ta będzie zdefiniowana tak, że będzie automatycznie niezmiennicza względem działania grupy SU(1,1). Ta działa tak U: S-> USU*$, i tak samo transformują się wektory styczne. Niezmienniczość metryki wynika z własności śladu. Iloczyn skalarny wektorów stycznych X,Y w T_S definiujemy bowiem jako 

 g(X,Y) = (-1/2) Tr(XY) 

 Z własności śladu wynika wtedy natychmiast, że 

g(UXU*,UYU*)=g(X,Y)

 Jawna postać metryki, wyliczona w Rozdz. 4 pliku pdf poniżej zgadza się z formułą z Wikipedii

Link do całego pdf