Działanie SU(1,1) na brzegu dziedziny

 

I have not failed. I’ve just found 10,000 ways that won’t work.

~Thomas A. Edison

Dziś tylko problem zadanko;

Grupa SU(1,1) przeprowadza brzeg dziedziny D1 w jej brzeg. Działa we wnętrzu , ale działa też na brzegu. A konkretnie:

Pokaż, że transformacja ulamkowo liniowa z poprzedniej notki

z1 = (λ* z + μ*)/(μ z + λ)

gdzie * oznacza sprzężenie zespolone, ma następującą własność:

Jeśli |z|=1 to |z1|=1.

Przejścia fazowe model zabawka 5b

 Narąbaliśmy już trochę drzewa. Gdy zabraknie gazu, przyda się na zimę. I rąbiemy dalej. By jak najszybciej dojść do algebr i rozmaitości Kählera. Te wymagać będą nie tylko siekiery, ale i klina.

W C² wprowadziliśmy iloczyn skalarny o sygnaturze (1,1). Takie C², lepiej oznaczać przez C^1,1, i tak będziemy odtąd czynić. Opisaliśmy w poprzedniej notce rozmaitość podprzestrzeni izotropowych - wyszedł nam okrąg. Teraz opiszemy rozmaitość podprzestrzeni (jednowymiarowych) "dodatnich". Zatem rozpinanych przez wektory u takie, że <u,u> >0. Podprzetrzeń rozpinana przez u może być utożsamiona z klasą równoważności. Do klasy wektora u należą wszystkie wektory postaci au, gdzue a jest liczbą zespoloną różną od zera. W każdej takiej klasie jest dokładnie jeden wektor postaci u=(1,z), z ∈ C. Tzn. u1=1,u2=z. Skoro ma być <u,u> > 0, zatem 1-z*z>0, inaczej |z|<1. W tn sposób sparametryzowaliśmy podprzestrzeni dodatnie przez punkty wnętrza dysku jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej. I takiej właśnie parametryzacji będziemy odtąd uzywać. Zauważmy przy okazji, że podprzestrzenie "ujemne" parametyryzowane jest przez punkty dopełnienia domkniętego dysku. Kładąc z = x+iy mamy więc przed oczami taki obrazek:

Fizyka świata materialnego to wnętrze dysku. Okrąg - brzeg, to warstwa przejściowa. Może tylko nadmienię, że gdy zamiast C^1,1 weźmiemy C^2,2, wtedy zamiast okręgu

 na brzegu otrzymamy cała czterowymiarową zwartą rozmaitość - uzwarconą czaso-przestrzeń Minkowskiego.

A w kolejnej notce przejdziemy już do macierzy i algebry. Algebry łatwej i przyjemnej. Prostej, a już głębokiej.