Grupa - automorfizmy wewnętrzne

 Take up one idea. Make that one idea your life—think of it, dream of it, live on that idea.

Let the brain, muscles, nerves, every part of your body, be full of that idea, and just leave every other idea alone. This is the way to success.

~SwamiVivekananda

Tego mi brakuje. Zresztą brakuje mi wielu rzeczy. Jak wspomniałem w notce o komorze hiperbarycznej czytam ostatnio trochę literatury psychologicznej. Czytam i przymierzam do siebie. Chce bowiem nauczyć się lepiej/skuteczniej siebie samego obsługiwać. Ostatnio na przykład czytałem o różnego rodzaju problemach psychologicznych i znalazłem tam parę cech, które świetnie do mnie pasują. Na przykład ta:

...

■ They usually start out with projects that they never finish. They have a tendency to jump from one project to the other without completing them.

Ta moja cecha działa wbrew przytoczonemu na początku cytatowi z Swami Vivekanandy. Chciałbym umieć się skupić na jednym, a przerzucam się z tematu na temat. A to algebry Clifforda (moja praca jest wciąż w recenzjach, niby została zatwierdzona do druku, ale gdy sprawdzam jej status widzę:

choć we wrzesniu 2021 to już była druga wersja mojej poczatkowo odrzuconej pracy), to fotony-Hawtony, to przejścia fazowe, to kwaterniony i oktoniony, to przejścia fazowe.... W ten sposób do niczego nie dojdę. A jednak chcę dojść. Więc kontynuuję dziś zaczęty temat grup. Bowiem każdy człowiek z większym od zera IQ powinien te rzeczy o których pisze wiedzieć, a sam się przetestowałem i mam IQ jednak nieco powyżej zera. 

Więc temat grup i działań grup na zbiory będę dalej drążył. Grupa - niby pojęcie proste - zbiór z łącznym działaniem - na ogół nieprzemiennym mnożeniem, jednością i odrotnością. A ile tam głębi! Na temat grup są tysiące publikacji, monografii, dotąd nie rozwiązanych problemów.

Wiemy już, że każda grupa dziala na siebie - przez lewostronne mnożenie 

L_a: g → ag.

Ale działa też inaczej: przez automorfizmy wewnętrzne:

A_a: g → aga^{-1}.

Będę odtąd używał czasem notacji tex-owej, gdzie np ^{-1} oznacza, że -1 jest superskryptem, zaś _a oznacza, że a subskryptem.

Podzas gdy L_a nie ma na ogół własności L_a(gg')= L_a(g)L_a(g'), to A_a ma tę własność

A_a(gg') = A_a(g)A_a(g')

co pilny Czytelnik powinien sam sprawdzić.

Dodatkowo

A_a(e) = e.

Zatem każde A_a jest automorfizmem grupy. Mówimy, że jest automorfizmem wewnętrznym, bo mogą być też inne automorfizmy grupy, nie będące powyższej postaci dla żadnego a.

Autorfizmy grupy same tworzą grupę ze względu na składanie. Przy tym dla automorfizmów wewnętznych mamy 

A_a ∘ A_b =A_{ab}

Zadanie 1: Sprawdzić powyższą równość.

Jeśli H jest podgrupą grupy G, wtedy A_a(H) jest także podgrupą.

Zadanie 2: Sprawdzić powyższe.

Definicja: Podgrupa nazywa się normalną gdy L_a(H)=H dla każdego a.

Mówiliśmy poprzednio o tym, że pzrestrzeń ilorazowa G/H nie jest naogół grupą.

Zadanie 3: Sprawdzić, że G/H, z naturalną definicją mnożenia:

[a][b] = [ab]

jest grupą gdy H jest grupą normalną.

 

Od magmy do półgrupy i grupy

 Magma to zbiór wyposażony w operacje mnożenia, na ogół niełaczną. Gdy operacja ta jest łączna, wtedy taka magmę nazywamy półgrupą.

Niech G będzie półgrupą, wtedy możemy opuścić nawiasy. Skoro bowiem (ab)c=a(bc)), możemy to "słowo" zapisac po prostu jako abc.

Możemy teraz zdefiniowac "potęgi"

a¹=a

aⁿ = a a^n-1.

Łatwo wtedy się przekonać, że

a^m aⁿ = a^m+n .

(a^m)ⁿ = a^mn

Definicja: Pólgrupę G nazywamy grupą jesli posiada ona element e taki, że

1) ea=ae dla każdego a z G

oraz

2) dla każdego a z G istnieje taki b z G, że

ab = e = ba.

Ćwiczenie 0: Udowodnij, że każda grupa jest, w szczególności,  półgrupą. 

W grupie raźniej

Ćwiczenie 1: dla każdego a element b o własnościach 2 jest jedyny. 

Oznaczmy go przez a^-1. 

Ćwiczenie 2: Pokazać, że e^-1 = e.

Ćwiczenie 3: Jesli G jest grupą, zaś a jej elementem, to mamy

(a^-1)^-1. = a.

W grupie może zatem zdefiniować  ujemne potegi każdego elementu

a^-n =(a^-1)ⁿ.

Ćwiczenie 4:

Jeśli G jest grupą i a₁,...,a_n są jej elementami, to

(a₁a_2...a_n)^-1 =(a_n)^-1...(a₂)^-1(a₁)^-1.

Przykład grupy: Nie X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Przez Aut(X) oznaczamy zbiór wszystkich wzjemnie jednoznacznych odwzorowań f: X → X. Wtedy Aut(X) jest grupą za względu na operację składania owzorowań fg = f∘g, gdzie

(f∘g)(x) = f(g(x)).

Algebraiczna Magma

 Magma jest gorąca. Z Wikipedii:

“W zależności od jej składu chemicznego i zawartości rozpuszczonych w niej gazów, temperatura magmy wynosi zazwyczaj od ok. +650 do ok. +1250 °C. “

I dalej

“Magma może przeciskać się przez warstwy skorupy ziemskiej tworząc intruzje plutoniczne oraz wydobywać się na powierzchnię Ziemi jako lawa. Z krzepnącej magmy/lawy powstają skały magmowe – plutoniczne, wulkaniczne i żyłowe. “

Jest wszakże też inna magma. Ta może się też przeciskać – przez warstwy czasu. Tej jednak w polskiej Wikipedii nie znajdziemy. Musimy siegnąć do angielskiej.

Znajdziemy tam całe potomstwo Matki Magmy. U samego dołu mamy grupy – to najbardziej wyspecjalizowane dzieci Magmy.

Czym zatem jest Magma? Moglibyśmy pójść za definicją z Wikipedii. Wybierzemy jednak ambitniejszą drogę. Pójdziemy za Bourbakim.

Znajdujmy tam rozdział “Magmy wolne”. Poczytajmy zatem.

X jest zbiorem. Definiujemy rekurencyjnie dla n≥1 ciąg zbiorów M_n(X) jak następuje:

Kładziemy M₁(X)=X;

Dla każdego n ≥ 2 , M_n(X) jest mnogościową sumą rodziny zbiorów M_p(X) x M_n-p(X) dla 1 ≤ p ≤  n-1

M_n(X) = ⋃_p=1^n-1  M_p(X) x M_n-p(X).

Sumę mnogościową rodziny (M_n(X))_n≥1 oznaczamy przez M(X).

M(X) = ⋃_n=1^∞ M_n(X)

Identyfikujemy przy tym każde M_n(X) z jego obrazem w M(X).

To M(X) satnie się wkrótce Magmą. Ale zanim to zrobimy, będziemy musieli wpierw pojąć o co idzie w tej definicji. Bo niby precyzyjna, ale jakoś nie trafia do wyobraźni. Tak to już jest z matematyką: jedna rzecz to znać definicje, inna – to je rozumieć. O tym w następnych notkach.