Przejścia fazowe model zabawka 5a

 Skoro zabawka, zatem się bawmy. Zabawa będzie jednak całkiem serio. Czy można się bawić na serio, z całą powagą? Można i należy. Przy tym zabawę trzeba odróżnić od "droczenia się". Rzucamy kamieniamy w żaby, dla zabawy, ale żaby giną całkiem serio. Tyle tytułem wstępu.

Kontynuuję poprzednią notkę. Jesteśmy w C², z indefinitnym iloczynem skalarnym. Dziś wprowadzimy go nieco inaczej niż w poprzedniej notce. Bedzie ten sam, tylko inaczej nieco zapisany. Wprowadzamy mianowicie macierz J:

J = ((1,0),(0,-1))

Co należy rozumieć: w pierwszym wierszu mamy 1 0, w drugim wierszu mamy 0 -1. Macierz ta jest hermitowska J=J*, a jej kwdrat jest macierzą jednostkową. Indefinitny iloczyn skalarny zapisujemy wtedy jak

<u,v> = (u,Jv)

gdzie iloczyn skalarny (u,v) jest ten standardowy, dodatnio określony

(u,v) = u*v =u1*v1+u2*v2

gdzie * oznacza sprzężenie zespolone. Zatem

<u,v>=u*v =u1*v1 - u2*v2, jak w poprzedniej notce.

Najpierw pomawimy się najpierw podprzestrzeniami jednowymiarowymi izotropowymi, zatem rozpinanymi przez wektory o "normie" zerowej. Wybierzmy taki wektor u o składowych u1,u2. Skoro ma być <u,u> = 0, zatem

u1*u1 =u2*u2 lub inaczej

|u1|=|u2|

gdzie |a| oznacza moduł liczby zespolonej a. Skoro nasz wektor ma rozpinać jednowymiarową podprzestrzeń - zatem musi być niezerowy. Zatem |u1|>0.

Zamieńmy wektor u na wektor v=u/u1. Wektor v rozpina tę samą podprzestrzeń co u (jest bowiem proporcjonalny do u). Wektor v ma teraz składowe 1,z, przy tym |z|=1. W każdej jednowymiarowej p[odprzestrzeni jest dokładnie jeden wektor tej postaci.

Zatem zbiór podprzestrzeni izotropowych jest izomorficzny ze zbiorem liczb zespolonych o module jeden. Czyli z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej.

To jest nasz model-zabawka cyklicznego czasu. W kolejnej notce zobaczymy, że czas płynie na brzegu czegoś o większej liczbie wymiarów. 

P.S1. A dla odprężenia - cytat nie całkiem na temat (przypisywany zwykle Elbertowi Hubbardowi):

PS2. Idea tego, że brzeg jest tu czasem pojawiła się u mnie po raz pierwszy we wspólnej pracy z Robertem Coquereaux "CONFORMAL THEORIES, CURVED PHASE SPACES, RELATIVISTIC WAVELETS AND THE GEOMETRY OF COMPLEX DOMAINS". Mianowicie w tym fragmencie:

Czwarty wymiar

Idea jest taka: wszystko co ważne dzieje się na brzegu. Na jakimś brzegu. Na brzegu pomiędzy dwoma stnami rzeczywistości. Weźmy brzeg morza. Powierzchnia morza jest dwuwymiarowa, powierzchnia lądu jest dwuwymiarowa. Zaś brzeg jest jednowymiarowy, często fraktalny. Ten brzeg faluje, jest dynamiczny. I tak samo my, istoty ludzkie. Nasz materialna rzeczywistość jest 3-wymiarowa. Lecz to to jedynie brzeg więcej wymiarowej rzeczywistości. Przynajmniej cztero-wymiarowej. Ten brzeg faluje, czasem whodzimy w tę czterowymiarową rzeczywistośc bardziej, czasem mniej. Jedny bardziej, inni mniej, ale by żyć, by mieć "doświadcznia" musimy trzymać się tego trójwymiarowego brzegu. Inaczej "odlecimy", a wrócić moż być trudno.

Cym jest ten czwarty wymiar? Ktoś powie: to "czas" i powoła się na Einsteina. Jednak czas to całkiem coś innego. Jedna z hipotez z jaką się spotkałem jest taka: czas to nie obiekt, nie rzecz, nie wymiar. To "morfizm". Być może, tyle, że diabeł ukrywa się w detalach. A tych dokopac\ć się trudno. Potrzebna wytężona praca, potrzebne narzędzia, wytrwałość  i cierpliwość.

Więc czym jest ten czwarty wymiar? Jest jakoś związany ze światłem. Światło bywa różnych kolorów. Mamy pryzmat i mamy tęczę. Kolor światła to częstotliwość ν (greckie nu). Mamy też stałą Plancka ℏ. Iloczyn ℏν to energia kwantu światła oczęstotliwości ν. Energia jest komplementarna do czasu. Zaś samo ℏ to kwant działania. Tu gdzieś ukrywa się czas. I bezczasowość. Ale to już wychodzi poza ramy dzisiejszej fizyki. Pisałem o tym gdzie indziej:

https://www.salon24.pl/u/arkadiusz-jadczyk/970111,zycie-po-smierci