Metatron

 W prezencie na urodziny dostałem od Laury Anioła. Zwie się Metatron. I tak sie jawi:

Miał długą drogę i przybył dopiero wczoraj. Nic o nim przedtem nie wiedziałem, więc zajrzałem do sieci:

Metatron (hebr. מטטרון; inne spotykane formy: Metratton, Mittron, Metaraon, Merraton, Matatron, Perier) – serafin wymieniany w kabale i w innych pismach, nie tylko judaistycznych. Znany jako „Ten, który zajmuje tron obok Boga”, Król Aniołów, ulubieniec Boga. Według podań jego śpiew tworzy nowe Zastępy Anielskie.

W kabalistycznym Drzewie Życia zajmuje miejsce w koronie jako przyporządkowany obszarowi Keter. Często utożsamiany z biblijnym Henochem, który za życia został wzięty do nieba, tam został przemieniony w anioła i pełni funkcję boskiego pisarza, zapisującego ludzkie czyny.

Istota z kręgu obcujących bezpośrednio ze Świętym Obliczem; był stworzony razem ze światem lub według innej tradycji nawet wcześniej. W Talmudzie babilońskim (Chagiga 15a) oraz 3 Księdze Henocha 16:1-5 znajduje się wzmianka, iż tannaita Elisza ben Awuja widział go w niebie w pozycji siedzącej, skąd wywiódł wniosek o jego boskim statusie i nazwał „drugą siłą”^[1]. Według niektórych tradycji jego inkarnacją ma być także Mesjasz.

Etymologia imienia tego anioła jest niejasna, być może pochodzi od słowa matara – „pełniący straż”; lub metator – „przewodnik, posłaniec”.

We współczesnym ruchu New Age opisywany jako „pan sfery Słońca” – strażnik ciała spirytystycznego. Czołowa postać mistyki Merkawy. 

Zapisuje czyny ludzkie. Zatem i moje. Te dobre i te złe.  Co jest we mnie "złe"? Zaglądam do zasad Gurdżijewa. Mówiłem już o tym, że z ich przestrzeganiem mam poważne kłopoty. Rzuciła mi się szczególnie w oczy tak zasada:

67. Kiedy ktoś pyta cię o opinię na temat czegoś lub kogoś, mów tylko o jego zaletach.

Tu grzeszyłem mocno. Metatron wiele miał tu do zapisanie. Ile to razy moje notki poświęcałem krytykowaniu innych? Ile to razy sam za to byłem mocno krytykowany! I słusznie. Anioł, mam nadzieję, pomoże mi w pozbyciu się tego nawyku. I, jako przewodnik, poprowadzi właściwą słuszną drogą.

Słuszna droga idzie po linie, która nie jest rozpięta wysoko, ale tuż nad ziemią. Ludzie zdaje się, więcej się o nią potykają, niż po niej chodzą.

Franz Kafka

A skoro mam mówić o zaletach, zalecam Czytelnikowi to:

P.S. Ze stołu roboczego 08-11-22 15:00

Wciąż mam do wyliczenia t(Z,Z'). Nie mogę sobie z tym dać dotychczas rady. Mam na to dwa wyrażenia. Jedno sprowadzając wpierw Z do 0, drugie sprowadzając Z' do zera. Winny dać ten sam końcowy rezultat. Ale nie widzę jak to może być możliwe. Spróbuję użyć programu Reduce, bo ten gdy dobrze zaprogramowany, nie powinien sie mylić w rachunkach..  

Rozwiązanie problemu z notki "Geodezyjne na dysku Poincarégo I"

 W "Geodezyjne na dysku Poincarégo I" napisałem coś takiego:

Lemat: Dla dowolnych pary różnych punktów z,z' na dysku istnieje element g grupy SU(1,1) taki, że

gz=0

gz'= x+0i, gdzie x>0

Dowód:

Dowód jest elementarny gdy użyjemy tego co już wiemy. Pozostawiam jako zadanie domowe dla uważnego Czytelnika. 

To było przed trzema tygodniami. Trochę wody w międzyczasie upłynęło. Czekałem, czekałem. W końcu postanowiłem sam zostać tym uważnym czytelnikiem i dziś przedstawię rozwiązanie w pełnej ogólności, w sygnaturze (n,m), a nie tylko (1,1) jak to było na początku. Bowiem czas nie stoi w miejscu, płynie do przodu, czasem się cofa - jak dziś rano, gdy przestawiałem wskazówki w zegarach w domu. Bo zegarów mam całe mnóstwo.

Najpierw ilustracja do notki. Zamieszczam ją już teraz, dla niecierpliwych nie mogących spać Czytelników.

I będę pisał wyjaśnienia i w miarę pisania tę notkę uzupełniał.

Wyjaśnienia do obrazka.

Zielony dysk obrazuje dziedzinę D w (m+n) wymiarowej przestrzeni zespolonej C^n+m

Dziedzina D jest ograniczona ("bounded domain") - jej punktami są macierze prostokątne Z mxn (m wierszy, n kolumn) , spełniające ograniczenie:

Z*Z < I_m

lub, co na jedno wychodzi:

ZZ*< I_n

W przypadku (1,1) mielibyśmy po prostu |z|< 1. W przypadku ogólnym macierze Z i Z* nie są na ogół ze sobą przemienne, więc trzeba uważać na kolejność.

W D mamy dwa różne punkty Z i Z'. Król Z i królowa Z' - jeśli ktoś woli mieć przed oczyma konkrety.

Skupmy najpierw uwagę na krółu, t.j. na Z. Mamy do dyspozycji konektor t(0,Z). 

Postać jawną tego konektora wyliczyliśmy na samym końcu pliku pdf dyskutowanego w notce 

Ogólny Przypadek U(m,n) - Część II.

Konektor działa na Z przez transformację ułamkowo liniową (AZ+B)/(CZ+D) (poprawniej:

(AZ+B)(CZ+D)^{-1} ) i przeprowadza Z w 0. Działa też na Z' i przeprowadza to Z' w jakieś Z''.

Teraz król jest w centrum dysku, jak na króla przystało, królowa znalazła się w punkcie Z''.

To jedna transformacja. Złożymy ją z kolejną, obracając cały wszechświat - t.j. dziedzinę D, wokół króla. Zauważmy, że transformacja z B=C=0 przeprowadza 0 w 0. Taką transformację teraz zastosujemy. Z podgrupy U(m)xU(n) ⊂ U(m,n).

A konkretnie jaką?

Przyjrzyjmy się królowej - t.j. macierzy Z''. Odwołamy się do notki Lemat prostokątny z użyciem SVD. Tam znajdziemy:

.. tzw. Singular Value Decomposition Theorem (SVD), które to twierdzenie przytoczę dosłownie z Wikipedii (angielskiej):

SVD Theorem

Specifically, the singular value decomposition of an  complex matrix M is a factorization of the form  where U is an  complex unitary matrix,  is an  rectangular diagonal matrix with non-negative real numbers on the diagonal, V is an  complex unitary matrix, and  is the conjugate transpose of V. Such decomposition always exists for any complex matrix.  

My zamiast Σ będziemy używać symbolu Λ, zamiast M będzie u nas Z. Zatem nasz rozkład będzie postaci

Z = UΛV*

Użyjemy tego SVD by rozłożyć na czynniki królową, aktualnie Z''. Niech zatem 

Z'' = UΛV*

Z macierzy U i V budujemy macierz blokową, powiedzmy U z blokami

A = U*, B = C= 0, D = V*

Zatem  U = 

U* 0

0  V*

Macierz ta należy do U(m) x U(n) ⊂ U(m,n). Działamy tą macierzą na królową Z''. Obracamy ją wokół króla. Przechodzi w jakieś Z'''.

Z''' = (AZ''+B)(CZ''+D)^{-1}=(U*(UΛV*))(V*)^{-1}= U*UΛV*V = Λ

Król pozostaje w centrum, królowa staje się diagonalna (na ile ją na to stać, bowiem jest prostokątna) i nieujemna. Nie mogę powiedzieć, że jest dodatnia, bowiem Λ może mieć jakieś zera na przekątnej. Ale nie same zera! Gdyby miała same zera, zlałaby się z królem, co jest u nas niedopuszczalne, bowiem załoąyliśmy na początku, że mamy dwa różne punkty Z,Z'.

Podsumowując: złożenie (iloczyn macierzy) U∘t(0,Z) jest macierzą z U(m,n) rozwiązującą nasz problem.

Do tego dochodzą teraz jeszcze dwie uwagi rozjaśniające (lub zaciemniające?) całą sprawę. 

1) Rozkład SVD nie jest  jednoznaczny. Nam to nie przeszkadza, ważne jest, że taki rozkład istnieje. By zobaczyć niejednoznaczność weźmy prosty przykład. Przypuśćmy, że m=n, i że Z, które rozkladamy jest proporcjonalne do macierzy jednostkowej Z= a I, |a|<1. Wtedy

Z = U aI U* dla dowolnego unitarnego U.

2) Ten środek dysku, punkt 0, nie jest tak naprawdę wyróżniony. Dowolny punkt wewnątrz dysku możemy uczynić jego "środkiem"  wybierając odpowiednią bazę. Rzecz w tym, że wystartowaliśmy, by było mnie abstrakcyjnie, od X=C^(m+n), czyli od konkretnej realizacji (m+n)-wymiarowej przestrzeni liniowej zespolonej. Tam jest uprzywilejowana baza ortonormalna, uprzywilejowane J_0. Moglibyśmy jednak wystartować od ogólnej przestrzeni z indefinitnym iloczynem skalarnym < , > o sygnaturze (n,m). Każde J moglibyśmy wziąć jako J_0. Zamiast macierzy rozważalibyśmy wtedy operatory liniowe. Przy wyborze bazy operator jest reprezentowany przez macierz. Z macierzami raźniej. Z operatorami bardziej abstrakcyjnie. Dobrze jest bawić się macierzami, ale też dobrze wiedzieć, że tak naprawdę D jest przestrzenią jednorodną: nie ma tam uprzywilejowanych punktów. Innymi słowy: trzeba umieć abstrahować, zapominać, gdy trzeba,  o tym co nie jest istotne. Skupiamy się na tych własnościach, które są niezmiennicze ze względu na działanie grupy U(m,n). Tak Feliks Klein zdefiniował "geometrię" - to badanie tych własności, które są niezmiennicze ze względu na działanie danej grupy.