Lemat prostokątny z użyciem SVD

 Przytoczę najpierw ciekawy tekst z Wikipedii:

Lemat (z gr. λημμα, lēmma – założenie) – twierdzenie pomocnicze, którego głównym zastosowaniem jest uproszczenie dowodów innych, bardziej istotnych twierdzeń. Formalnie każdy lemat jest pełnoprawnym twierdzeniem, a zaklasyfikowanie pewnego twierdzenia jako lematu wynika jedynie ze sposobu jego użycia w innym, obszerniejszym kontekście.

Często zdarzało się, że lemat zyskiwał sobie o wiele większe znaczenie od pierwotnego, znajdując szersze zastosowanie i stając się w zasadzie samodzielnym twierdzeniem, którego nazwa wynika z uwarunkowań historycznych.

Do twierdzeń tradycyjnie nazywanych lematami należą m.in.:

• lemat Bootha
• lemat Ogdena,
• lemat Königa,
• lemat Lindenbauma,
• lemat Riemanna,
• lemat Kuratowskiego-Zorna,
• lemat o pompowaniu dla języków bezkontekstowych,
• lemat o pompowaniu dla języków regularnych,
• lemat Barbălata,
• lemat Jordana,
• lematy Borela-Cantellego,
• lemat Poincarégo.

I ta notka będzie o Lemacie. Ten Lemat i jego dowód dodałem do dokumentu pdf z poprzedniej notki. Uaktualniony dokument do ściągnięcia z tego samego linku. Tutaj jednak omówię pewien "techniczny detal" - bez tego dowód lematu będzie dla krytycznego Czytelnika niezrozumialy. Bezkrytyczny czytelnik to przełknie, tak jak i ja przełknąłem za pierwszym razem. Przełknąłem, bowiem dowód tego lematu nie jest mój. Wziąłem go z monografii L. K. Hua, "Harmonic Analysis of Functions of Several Complex Variables in the Classical Domains", AMS 1965.

Rzecz jest niezależna od całej reszty, więc i cały ten lemat zaprezentuję niezależnie od pozostałych notek. Oto odpowiedni fragment z dokumentu pdf:

Rzecz dotyczy macierzy prostokątnych mxn, gdzie m,n ≥ 1. Dowód lematu wykorzystuje tzw. Singular Value Decomposition Theorem (SVD), które to twierdzenie przytoczę dosłownie z Wikipedii (angielskiej):

SVD Theorem

Specifically, the singular value decomposition of an ${\displaystyle \ m\times n\ }$ complex matrix M is a factorization of the form ${\displaystyle \ \mathbf {M} =\mathbf {U\Sigma V^{*}} \ ,}$ where U is an ${\displaystyle \ m\times m\ }$ complex unitary matrix, ${\displaystyle \ \mathbf {\Sigma } \ }$ is an ${\displaystyle \ m\times n\ }$ rectangular diagonal matrix with non-negative real numbers on the diagonal, V is an ${\displaystyle n\times n}$ complex unitary matrix, and ${\displaystyle \ \mathbf {V^{*}} \ }$ is the conjugate transpose of V. Such decomposition always exists for any complex matrix.  

My zamiast Σ będziemy używać symbolu Λ, zamiast M będzie u nas Z. Zatem nasz rozkład będzie postaci

Z = UΛV*

A żeby było konkretniej rozważymy przykład m=2, n=3

Macierz Λ będzie  2x3. Ma być "diagonalna". Będzie więc postaci

Λ =

λ1 0 0
0 λ2 0

Przy tym λ1,λ2 ≥ 0

Wtedy Λ* będzie

Λ* =

λ1 0
0 λ2
0 0

Stąd

ΛΛ*=

(λ1)^2    0
0         (λ2)^2

 Λ*Λ=

(λ1)^2    0         0
0         (λ2)^2    0
0            0         0

W dowodzie lematu występują macierze I_2 - ΛΛ* oraz I_3 - Λ*Λ

Te bedą postaci 

I_2 - ΛΛ* =

1-(λ1)^2    0
0        1- (λ2)^2

 I_3 - Λ*Λ = 

1-(λ1)^2    0        0
0        1- (λ2)^2   0
0            0            1

W dowodzie lematu występują wyznaczniki obu tych ostatnich macierzy. Widać, że

det (I_2 - ΛΛ*) = det ( I_3 - Λ*Λ) = (1 - (λ1)^2) (1 - (λ2)^2)

P.S. By mi rozświetlić dzień przyszła dziś kolejna recenzja mojej pracy o algebrach Clifforda (praca nad tym trwa już u mnie cztery lata). Praca jest "w zasadzie przyjęta" do publikacji. Recenzent jednak domaga się przedtem "minor revisions". Tak zaczyna:

"I hoped that the examination of this revised version would reveal only some futile defects that would need an immediate correction without requiring another examination of the text. Unfortunately, I discovered that the Author had made two questionable modifications that did not satisfy me, and that he had forgotten to correct some defects that did not at all look futile."

Po czym następują trzy bite strony uwag i formuł matematycznych co mam zmienić i jak, a kończy się ta recenzja wielce zachęcająco 😁:

"The Author is kindly advised not to make any modification outside the places that have been mentioned by a referee.":

A gdzie tu konstytucyjna wolność słowa i wypowiedzi?

A oto przykładowo jak się zaczynają te uwagirecenzenta:

"1. Niektóre miejsca wymagające rewizji

1.1. Propozycja 3.6, strona 25

W moim poprzednim raporcie przypomniałem sobie moją niechęć do dowodu z Wniosku 3.6., i natychmiast oświadczyłem, że dla mnie jest już za późno na wznowienie dyskusji (przedstawionej już w poprzednim raporcie). dyskusję (przedstawioną już w poprzednim raporcie). Oznacza to, że również dla Autora, jest za późno na dokonanie modyfikacji. Mimo to, zamiast "Proposition 3.6", napisał "Uwaga 13.6". Niestety, nie jest to uwaga, która tylko wnosi dodatkowe informacje, jest to jedyne w swoim rodzaju stwierdzenie, które uzasadnia poprzedzające wyjaśnienia i definicje. Czytelnicy zrozumieją ją tylko jeśli zostanie ono przedstawione jako "Propozycja 3.6", a w chwili obecnej czytelnicy mają pierwszeństwo. Przypominając swoją niechęć, zaprosiłem jedynie Autora do ponownego rozważenia tej kwestii jeśli odnowi swoje badania w przyszłości."

A oto kolejny fragment:

"1.2. Przypis 32, strona 29 Tego przypisu nie było jeszcze w poprzedniej wersji. Przypominam sobie, że brak wyjaśnień w dowodzie Corollary 3.9 sprawił, że byłem już niezadowolony. Teraz zauważam, że sam Autor przyznaje, że dodatkowe wyjaśnienia byłyby byłyby mile widziane. Nie jest jednak rozsądne próbować poprawić zbyt zwięzły dowód za pomocą za pomocą niejasnego przypisu. Po pierwsze, słowa "w charakterystyce 2" prawdopodobnie oznaczają "w charakterystyce innej niż 1" prawdopodobnie oznaczają "w charakterystyce innej niż 0". Po drugie, słowa "wszystkie wyższe komutatory" odnoszą się do komutatorów, których Autor nigdy nie napisał. Jeśli Autor będzie miał trochę litości dla swoich czytelników, to będzie łaskaw pokazać im te komutatory:" 

I tak dalej leci:

Page 3, line 8 : λ F ( 1 ) = 1

Page 4, line 20 : that are linear bijections preserving the Z

2 -gradation, but

not algebra homomorphisms.

Page 5, line -8 (from the bottom). What is Ref.[?,p.139] ?

Page 6, line 4 : as multivectors, that is, elements of the exterior algebra,

Page 14, last line : of k pairs (i m , j m ) ,

Page 16, line 3 : and Definition 1.14, we arrive at

Page 16, line 6 : p even, p = 2n .

Page 18, footnote 22 : in Ref.[6, I.2.2, p.76]

Albo to:

"Mam nadzieję, że Autor będzie również uprzejmy wyjaśnić, dlaczego [i_A*,i_x^A] znika. I lepiej nie umieszczać tego wyjaśnienia w przypisie, bo niektórzy niesfortunni czytelnicy potrzebują lupy, żeby przeczytać obliczenia w przypisie."

Przynajmniej recenzent ma humor. I chyba mnie trochę musi lubieć, inaczej dostałby apopleksji.

No i wszystko teraz muszę odłożyć na bok i zabrać się za kolejne poprawki. Po nich, mam nadzieję, moja Praca i ja - trafimy do nieba.  A przewodził będzie Recenzent. On trafi z całą pewnością do Najwyższego Nieba.