Trzy są modele tej samej geometrii.
Dysk jednostkowy na płaszczyźnie liczb zespolonych, półpłaszczyzna o urojonej części dodatniej, też na płasczzyźnie liczb zespolonych,
oraz hiperboloida w trójwymiarowej przestrzeni płaskiej z metryką
o sygnaturze (++-).
Dyskiem już rzucaliśmy. Dyskiem
zresztą rzucałem już w liceum – to moja ulubiona dyscyplina
sportowa. Wczoraj jednak Bjab zajrzał do Wikipedii i zapytał o
hiperboloidę. Nie było rady, musiałem odłożyć dysk na bok i
zacząć rachować. Bowiem gdy są pytania – musza być i
odpowiedzi. Najpierw mi nie szło, końce się nie schodziły.
Normalny człowiek rzuciłby coś co nie wychodzi i zajął się
czymś co zawsze wychodzi. Zawsze się taka rzecz pod reką znajdzie.
Jednak w końcu “wyszło”. I wygląda to jak poniżej opiszę.
Tylko może zanim opiszę – jedna
dygresja. Gdy mi się te końce nie schodziły – poszukałem trochę po sieci. Nie znalazłem tego czego szukałem, ale znalazłem ciekawy
i przystępnie napisany artykuł autorstwa niejakiej Eryki
Dunn-Weiss p.t. Introduction to Geometry. Może się w przyszłości przyda.
Poszukałem
też kto to taki ta pani. Ma “B.S. in math from the University of
Chicago," I "Ph.D. in neuroscience from Johns Hopkins University.
“
Przechodzimy do pytania Bjaba i modelu
z hiperboloidą. Pytaniu towarzyszył ten obrazek z Wikipedii:
Red circular arc is geodesic in
Poincaré disk model; it projects to the brown geodesic on the green
hyperboloid.
Jest tam jeszcze takie tajemnicze
zdanie:
“A geodesic on the hyperboloid is the
(non-empty) intersection of the hyperboloid with a two-dimensional
linear subspace (including the origin) of the n+1-dimensional
Minkowski space. “
To zdanie jest dla mnie zagadką,
jednak nie od razu Kraków zbudowano. Zanim coś zbudujemy, należy
najpierw ułożyć solidny fundament. I tym się dziś zajmiemy.
Bierzemy więc trójwymiarową
przestrzeń rzeczywistą. Współrzędne w tej przestrzeni oznaczymy
X,Y,Z. Przy tym Z będzie odgrywało rolę “czasu”, zatem
“kwadrat długości” wektora o współrzędnych X,Y,Z to będzie
X^2 + Y^2 - Z^2
a nie X^2+Y^2+Z^2 jak to by było w
przestrzeni euklidesowej.
Uwaga: “^” oznacza “do potęgi”.
W tej przestrzeni, w płaszczyźnie Z=0
mamy dysk jednostkowy. Współrzędne punktu na dysku oznaczymy
literkami x,y. W naszej trójwymiarowej przestrzeni punkt dysku ma zatem współrzędne (x,y,0).
Mamy tam jeszcze hiperboloidę opisaną
równaniem
Z = (1+X^2+Y^2)^(1/2)
Bierzemy proste wychodzące z punktu
(0,0,-1). Te przecinają dysk w punkcie (x,y,0) a następnie
przecinają hiperboloidę w punkcie X,Y,Z.
Jaki jest związek pomiędzy (x,y) a
(X,Y,Z)?
Wyprowadzenie tego związku to problem
do rozwiązania dla Czytelnika. Podam moje rozwiązanie:
niech
rho^2 = x^2+y^2
Wtedy
X = 2x/(1-rho^2)
Y = 2y/(1-rho^2)
Z = (1+rho^2)/(1-rho^2)
Zadanie: sprawdź, że faktycznie,
wtedy automatycznie
Z = (1+X^2+Y^2)^(1/2).
Chcemy znaleźć metrykę Riemanna na
dysku, czyli dX^2 + dY^2 - dZ^2.
Tu już nie chciało mi się liczyć i
zatrudniłem program Mathematica.
Oto kod:
rho=Sqrt[x^2+y^2];
X=2x/(1-rho^2);
Y=2y/(1-rho^2);
Z=(1+rho^2)/(1-rho^2);
dX=D[X,x]dx+D[X,y]dy;
dY=D[Y,x]dx+D[Y,y]dy;
dZ=D[Z,x]dx+D[Z,y]dy;
FullSimplify[dX^2+dY^2-dZ^2]
I
oto wynik:
(4
(dx^2+dy^2))/(-1+x^2+y^2)^2
I
to zgadza się z metryką Riemanna wyliczoną przez nas w jednej z
poprzednich notek. Co cieszy.
Ostatnia
przygoda z moimi rachunkami nasunęła mi ideę tej
notki. Bowiem widziałem,
że moje rachunki muszą w końcu dać prosty i piękny wynik,
ale nie
wiedziałem jak
do tego dojść (lub ewentualnie sfalsyfikować). Wymagało to pracy
i olśnienia. Kiedy
indziej natomiast coś niby "wiem",
ale nie "widzę". Nic
wtedy z tej wiedzy nie wynika.
I tu znów praca
i olśnienie są
niezbędne. Nad pracą mamy władzę. Nad olśnieniem - niewielką.
Olśnienie przychodzi jeśli zechce i kiedy zechce. Jedno jest pewne
- bez pracy nie przyjdzie, a jak przyjdzie to może zwieść.
To
tak ogólnie. Nie będe się w tym ogólnym stylu dalej rozpisywał.
Byłaby to tylko folozofowanie. Z samego filozofowania nie popartego
konkretami nic pożytecznego nie wynika. Tak przynajmniej ja to
widzę. Nie tylko widzę, ale i wiem, bowiem trochę się jednak
filozofia w przeszłości interesowałem.
Przechodzę
więc do konkretów. W tym przypadku do algebry. Prosta algebra
liniowa. Nic wielkiego, nic nadzwyczaj trudnego. Gdy sie już wie.
Bowiem zanim się wie, panuje tu mętlik. I tak jeszcze wczoraj miałem
w głowie mętlik. Olśnienie przyszło dziś rankiem. Miałem
jakieś sny, w których algebra przedstawiała się w postaci
przenośni – ludzi, grup sytuacji. Detali snu nie pamiętam. Ale
zaraz po wstaniu z łóżka wiedziałem. Olśniło mnie jak głupio
się wczoraj do pracy zabierałem. Że powinienem się zabrać od
zupełnie innej strony.
“Nie
będę chyba szukał Prosiaczka przy Sześciu Sosnach – rzekł
Puchatek do siebie – ponieważ został on zorganizowany w zupełnie
innym miejscu, więc najpierw poszukam Zupełnie Innego Miejsca.
Ciekaw jestem, gdzie ono jest. – I ułożył sobie w głowie taki
plan:
KOLEJNOŚĆ
SZUKANIA ROZMAITYCH RZECZY
1. Zupełnie Inne Miejsce – (żeby
znaleźć Prosiaczka).
2. Prosiaczek – (żeby dowiedzieć
się, kto to jest Mały).
3. Mały – (żeby znaleźć Małego).
4. Królik – (żeby powiedzieć mu,
że znalazłem Małego).
5. Znowu Mały – (żeby powiedzieć
mu, że znalazłem Królika).
„Z czego wynika, że zanosi się na bardzo kłopotliwy dzień” –
myślał Puchatek idąc Lasem.W chwilę potem okazało się, że
dzień był naprawdę kłopotliwy, gdyż Puchatek tak był zajęty
niepatrzeniem, którędy idzie, że stąpnął na kawałek Lasu,
który był przez pomyłkę wpuszczony w ziemię.
Gdy
rano zabrałem się do pracy tuż na samym początku stąpnąłem na
kawałek lasu, który przez pomyłkę był wpuszczony w ziemię.
Jedną tylko godzinę zajęło mi wydobywanie się z tego wpuszczenia
w ziemię. I potem już poszło. Troche ręcznych rachunków,
trochę sprawdzania Mathematicą. I po bólu.
Więc
teraz, notka za notką opiszę co znalazłem. Powolutku, we
wszystkich detalach.
Dotąd
zajmowałem się przetrzenią liniową (1+1)-wymiarową. To
model-zabawka. Jednak wiele konstrukcji tej serii notek
działa równie dobrze w ogólniejszym, bynajmniej nie zabawnym
przypadku, gdy mamy m+n wymiarów: m “dodatnich” i n “ujemnych”.
Już dla m=n=2 mamy “prawdziwą” fizykę – choć jeszcze “tylko
prawdziwą” i nic więcej. Ot, szczególne przypadki hermitowskich
przestrzeni symetrycznych.
Abstract : These notes
were written following lectures I had the pleasure of giving on this
subject at Keio University, during November and December 2004. The
first part is about new applications of Jordan algebras to the
geometry of Hermitian symmetric spaces and to causal semi-simple
symmetric spaces of Cayley type. The second part will present new
contributions for studing (non commutative) Hardy spaces of
holomorphic functions on Lie semi-groups which is a part of the so
called Gelfand-Gindikin program.
P.S. Wspominałem już, że interesuję się psychologią. Studiuję podręczniki i publikacje. Zainteresowałem się m.in. tym skąd się bierze u ludzi to widzenie niewidzialnego? Trafiłem na taki artykuł:
Newton, Einstein i genetyczne uzasadnienie schizofrenii?
W odniesieniu do związku między kreatywnością a schizofrenią, dr Andreasen zwrócił uwagę na interesującą obserwację, że że częstość występowania zaburzeń psychotycznych pozostaje stała w czasie i jest mniej więcej taka sama na całym świecie.
Ponadto badacze udokumentowali wysoką dziedziczność (70%-80%) na podstawie badań bliźniąt jednojajowych i dwujajowych. A jednak osoby dotknięte schizofrenią rzadko zawierają małżeństwa i zazwyczaj nie mają dzieci. Dlaczego więc takie zaburzenia utrzymują się w populacji? Jednym z wyjaśnień może być związek między geniuszem/kreatywnością a poważnymi chorobami psychicznymi.
Przykładem tego związku są historie niektórych z najważniejszych odkryć współczesnej nauki, z których jednym jest Mechanika Newtona. Wiadomo, że Newton miał załamanie psychiczne w wieku około 40 lat; żył samotnie, nie miał dzieci, i prawdopodobnie miał nietypowe zainteresowania i przekonania. Kolejnym ważnym odkryciem jest względność Einsteina, a Einstein był znany z tego, że miał cechy schizotypowe, był zdystansowany, miał trudności w relacjach z innymi i miał syna chorego na schizofrenię. "Czy choroba (lub noszenie diatez dla niej) nadaje zdolność do postrzegania i myślenia w wysoce oryginalny sposób?" pytał dr Andreasen - "Do dostrzegania nowych i odmiennych związków?". Kreatywność jest darem umysłowym, który pozwala ludziom postrzegać w oryginalny i nowatorski
Dostrzegać rzeczy, których inni nie potrafią. Jest ona wspólna dla wszystkich dyscyplin, takich jak matematyka i literatura. Sprawia, że jej posiadacz jest "inny", a czasem podatny na choroby psychiczne, takie jak schizofrenia czy zaburzenia nastroju. Możliwe jest, że schizofrenia utrzymuje się w puli genów ze względu na jej związek z kreatywnością i geniuszem.
Cite this: Michael T. Compton. Newton, Einstein, a Gaggle of Writers - Medscape - Jun 17, 2011.
References
1. Andreasen NC. A Journey into Chaos: Creativity and the Unconscious. Proceedings and abstracts from the 164th
American Psychiatric Association Annual Meeting. Honolulu, HI; 14-18 maja 2011. Wykład 24.
Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)
"Do dostrzegania nowych i odmiennych związków"- z tym właśnie mam poważne trudności. Próbuję nadrobić to pracowitością, cierpliwością, wytrwałością, ale idzie jak po grudzie. Człowiek twórczy ma dobrze. Bowiem pracowitości, wytrwałości, cierpliwości, może się bez trudu nauczyć. Kreatywności natomiast nauczyć się trudno. Albo się ją ma, albo się jej nie ma. Kwestia genów i obwodów w mózgu. Tak przynajmniej ja to widzę.
P.S. Komora hiperbaryczna powinna mi w tym pomóc.
A propos widzieć: To moi niektórzy komentatorzy kochający mundury i NATO będą uwielbiać, będa zapewne skakać z radości. "Nareszcie! Ale będzie zabawa!":
Kocie przygody:
16/10/22 Widzę, że moje dodatki o widzeniu i wiedzeniu mają powodzenie wśród komentujących. Zatem jeszcze jeden dodatek - poranny, na przebudzenie:
A gdyby któryś z Czytelników miał niedługo urodziny - polecam:
Do opublikowania tej notki namówiła mnie dziś Laura. Zapewne troche pod wpływem moich ostatnich zainteresowań specyficznymi problemami zdrowia i psychologii. Od paru miesięcy mamy w domu komorę hiperbaryczną i ją testujemy. Co to takiego? Można poczytać tutaj:
Znajdziemy tam m.in.:
Tlenoterapia działa przeciwbólowo oraz wpływa pozytywnie na procesy naprawcze w tkance kostnej, chrząstce oraz mięśniach szkieletowych.
Dzięki pozytywnemu wpływowi na dotlenienie mózgu, tlenoterapia w komorze hiperbarycznej może być stosowana u osób po urazach neurologicznych, np. wylewach, udarach. Udowodniono, że regularne zabiegi przeprowadzane w komorze hiperbarycznej pozwalają także poprawić pamięć oraz koncentrację.
Komora hiperbaryczna / tlenoterapia zalecana jest u osób, które zmagają się z przewlekłymi stanami zapalnymi, podczas infekcji bakteryjnych, grzybiczych oraz w przypadku wystąpienia różnorodnych schorzeń o podłożu neurologicznym. Tlenoterapia hiperbaryczna to także świetny zabieg skierowany do osób, które chcą poprawić pamięć, koncentrację oraz wydolność organizmu.
Z komory hiperbarycznej warto skorzystać także w przypadku odmrożenia, złamania, stłuczenia i przewlekłych chorób skóry. Tlenoterapię poleca się również w przypadkach nadciśnienia tętniczego, miażdżycy oraz po udarze mózgu.
Tlenoterapia wpływa hamująco na procesy starzenia i wspomaga regenerację komórek, dzięki czemu znalazła zastosowanie w medycynie estetycznej oraz kosmetologii.
Warto pamiętać, że seanse w komorze hiperbarycznej nie zastąpią zasadniczej terapii, odpowiedniej dla danego przypadku. Jest to jednak dobra metoda wspomagająca standardowe leczenie.
Ale to nie wszystko. Komora pomaga też w konstruktywnej przebudowie/odbudowie mózgu. Wspomaga pamięć, zdolność koncentracji - to dla mnie ważne. Ale jeśli w moim mózgu jest coś dziwacznie poukładane - też pomoże.
Na początku trzeba tylko uważać z uszami. Wzrost ciśnienia - co trwa ok. 10 minut - może powodowac bół w uszach - na co są metody - zatykamy nos i nadymamy się aż powietrze ujdzie przez uszy. I tak kilka razy w czasie wzrostu ciśnienia. Z kolei spadek ciśniena powoduje pykania w uszach. Nie powinien być zbyt szybki. Różni ludzie różnie reagują. Ja na początku miewałem ból w uszach. Teraz uszy się przyzwyczaiły.
Dr. Shai Efrati's protocol, 60 sessions in 2.0 ATM for 90 minutes produces the "fountain of youth" effect, and 180 sessions in 1.5 ATM for 60 minutes does the same.
Fontanna młodości? Podoba mi się. Mam już za sobą 97 sesji.
Niektórzy ludzie - niedowiarki, a tacy bywają, będa opierać się tej terapii. Że "nie do końca zbadana", że "to nie dla mnie". Moze i nie do końca zbadana, jednak własnie dlatego warto ją stosować.
Jakiś czas temu Czytelnik polecił mi do przestudiowania książkę Nassim Nicholas Taleb, "Czarny łabędź", o skutkach nieprzywidywalnych zdarzeń" (2014). Aktualnie ją czytam i jestem wręcz urzeczony. Jak mogłem jej dotąd nie przestudiować? Komora hiperbaryczna jest takim czarnym łabędziem. Warta ryzyka, bo bez ryzyka co warte jest życie?
