Sama sobie sterem, żeglarzem, okrętem

 I nie lgnie do niej fala, ni ona do fali. 

A któż to taki? A któż by jesli nie ona - Pani Geodezyjna! Wielce jest tajemnicza. Wyznacza sobie kierunek i sie go trzyma. To jej definicja. Ale defincja - definicją a praktyka wymaga działań praktycznych. Od abstrakcji do praktyki - to ambitna droga. I dziś w nią wyruszymy.

Punktem wyjście jest twierdzeni od Helgasona wspomniane w poprzedniej notce:

 Wygląda mocno abstrakcyjnie. Między innymi dlatego, że jest tak ogólne. My zastozojume je w szczególnym przypadku i od razu zrobi się przytulniej. Grupa G to będzie U(m,n) (lub SU(m,n)), a w tej notce nawet jeszcze konkretniej, bo weźmiemy  G=SU(1,1). Grupą K będzie podgrupa stabilności zera - w tej notce to będzie K=S(U(1)xU(1)) - rozważalismy już to w jednej z poprzednich notek. (Na początek wybierzemy za centrum dysku punkt Z=0). Przestrzeń ilorazowa G/K to nasz dysk jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej.

W Twierdzeniu pojawiają sie też "algebry Liego". Tych jeszcze nie omawialiśmy. I omawiać nie będziemy. Po prostu chwycimy za lejce, pociągniemy, i ruszymy z kopyta.

Interesują nas jednoparametrowe podgrupy Ut), t - rzeczywiste,

U(0)=I, U(t)U(s) = U(t+s). Taką własność ma zwykła funkcja ekponencjalna, a jednoparametrowe podgrupy to uogólnienia eksponencjałów. W teorii grup ciągłych pojawia się twierdzenie: każda jednoparametrowa grupa macierzy ma postać:

U(t) = exp (tX)

gdzie X jest macierzą zwaną generatorem grupy U(t).  

Rózniczkując w t=0 dostaniemy

X = dU(t)/dt |t=0.

I zaraz potem pojawia się kolejne twierdzenie: jeśli X i Y są generatorami jednoparametrowych podgrup grupy G, to komutator

[X,Y] = XY-YX

jest też generatorem jednoparametrowej podgrupy grupy G. Generatory tworzą przestrzeń liniową (rzeczywistą),  a wraz operacją komutatora tworzą algebrę Liego (oznaczana przez g lub Lie(G) ) grupy G.

Nasza G to grupa operatorów unitarnych (względem undefinitnego iloczynu sklaranego <,>). Mając U(t), dla każdego t mamy

U(t)U(t)*=I

Jeśli U(t)=exp(tX), t∊R, to U(t)*=exp(tX*). Rózniczkując

e(tX)e(tX*)=I w t=0 dostaniemy

X+X*=0 lub X*=-X

Nasza algebra Liego składa się więc z macierzy antyhermitowskich. Na wszelki wypadek spradzamy, że komutator dwóch macierzy antyhermitowskich jest macierzą antyhermitowską, i już nam lepiej.

Nasze J-ty spełniają J^2=1, J*=J. Mając dane takie J możemy macierz antyhermitowską sprytnie rozłożyć na dwa antyhermitowskie składniki:

X = ½(X+JXJ) + ½(X-JXJ)

Pierwszy składnik komutuje z J, drugi antykomutuje z J. Ten własnie rozkład odpowiada rozkładowi algebry Liego g z twierdzenia 3.3 na sumę prostą

g = k + p

Jeśli X należy do k, to komutuje z J, zatem

exp(tX) J exp(-tX) = exp(tX) exp(-tX) J = J

Zatem X generuje podgrupę stabilności J-ta. Będę nas interesować X-y z p, te, według Twierdzenia, będą generować geodezyjnę. I je sobie teraz wygenerujemy.

Dla sygnatury (m,n) iloczyn skalarny jest zdefiniowany przez macierz J0 majacą na diagonali macierze blokowe (-I,+I). Macierz J0 odpowiada zarazem centrum dziedziny Z=0. Macierz X jest antyhermitowska (względem iloczynu skalarnego zdefiniowanego przez J0 wtedy i tylko wtedy gdy jej bloki A,B,C,D mają własności

A=-A*, D=-D*, C=B*

Taka macierz antykomutuje z J0 wtedy i tylko wtedy gdy A=D=0. Zatem algebra Liego p składa się z macierzy blokowych postaci

0   B

B* 0

Zajmiemy się teraz przypadkiem (1,1). Wtedy algebra p to macierze 2x2 postaci

X=

0   u

u* 0

gdzie u jest liczbą zespoloną u = a+bi.  Łatwo wyliczyć U(t)=exp(tX). Program Mathematica daje odpowiedź następującą:

U(t) =

a(t) b(t)

c(t) d(t)

gdzie, oznaczając r=|u|, mamy

a(t)=cosh(rt) , b(t) = u sinh(rt)/r, c(t)=u* sinh(rt)/r, d(t) =cosh(rt)

Ogólna macierz blokowa z U(m,1n) działa na Z-ty  poprzez transformacje ułamkowo-liniowe

U.Z = (AZ+B)(CZ+D)^{-1}

Gddy startujemy z Z=0 dostajemy U.0 = BD^{-1}. W naszym szcególnym przypadku trajektorie przechodząc przez z=0 so postaci

z(t)=b(t)/d(t) = u tanh(|u|t)/|u|

Widać, że by otrzymac te trajektorie wystarczy wziąć |u|=1, zatem u=cos(fi)+i sin(phi). I tak zrobiłem dla fi od 0 2 pi co pi/12. Pozwoliłem t przebiegać od -10 do 10. Oto co dostałem 

To są nasze geodezyjne. W kolejnej notce (w poniedziałek) narysujemy geodezyjne przechodzące przez inny punkt.

P.S. W przerwach pomiędzy geodezyjnymi dokształcam się podczytując o sprawach psychologii, bowiem ta mnie fascynuje. I tak przed chwilą (18/11/22 16:20), w jednej z książek,  trafiłem na następujący fragment, który przyciągnął moją uwagę:

Pomyśl o wszystkich wspaniałych ludziach wokół ciebie ...i o tym, jakie masz szczęście, że zyskałeś ich przyjaźń, miłość i wsparcie.  Zrozum, że są oni godni Twojego podziwu, szacunku i wdzięczności.  Poświęć czas na uznanie dobre rzeczy o sobie, jak również wszystkie dobre rzeczy, które inni powiedzieli lub zrobili dla ciebie... i zachowaj te myśli mocno w pamięci, aby móc je później wykorzystać.

Praktykuj proste akty dobroci każdego dnia... zwłaszcza wobec tych, którzy na nie nie zasługują.

Bądź hojny ze swoim czasem i swoim sercem. 

Bądź łagodny i wyrozumiały, gdy czujesz, że inni zrobili źle... i proś o przebaczenie, gdy sam jesteś winny.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

Mam nadzieję, że przytaczając ten fragment tutaj nie wywołam żadnych złych skutków

P.S.2

I coś

dla rozrywki: 

Tucker Carlson: This lie could get millions of Americans killed

I jeszcze jedno dla rozrywki

https://twitter.com/NoMoreNATO/status/1593548288271196160

I tu: dość dobra analiza:

Wiedzieć a widzieć

 Ostatnia przygoda z moimi rachunkami nasunęła mi ideę tej notki. Bowiem widziałem, że moje rachunki muszą w końcu dać prosty i piękny wynik, ale nie wiedziałem jak do tego dojść (lub ewentualnie sfalsyfikować). Wymagało to pracy i olśnienia. Kiedy indziej natomiast coś niby "wiem", ale nie "widzę". Nic wtedy z tej wiedzy nie wynika. I tu znów praca i olśnienie są niezbędne. Nad pracą mamy władzę. Nad olśnieniem - niewielką. Olśnienie przychodzi jeśli zechce i kiedy zechce. Jedno jest pewne - bez pracy nie przyjdzie, a jak przyjdzie to może zwieść.

To tak ogólnie. Nie będe się w tym ogólnym stylu dalej rozpisywał. Byłaby to tylko folozofowanie. Z samego filozofowania nie popartego konkretami nic pożytecznego nie wynika. Tak przynajmniej ja to widzę. Nie tylko widzę, ale i wiem, bowiem trochę się jednak filozofia w przeszłości interesowałem.

Przechodzę więc do konkretów. W tym przypadku do algebry. Prosta algebra liniowa. Nic wielkiego, nic nadzwyczaj trudnego. Gdy sie już wie. Bowiem zanim się wie, panuje tu mętlik. I tak jeszcze wczoraj miałem w głowie mętlik. Olśnienie przyszło dziś rankiem. Miałem jakieś sny, w których algebra przedstawiała się w postaci przenośni – ludzi, grup sytuacji. Detali snu nie pamiętam. Ale zaraz po wstaniu z łóżka wiedziałem. Olśniło mnie jak głupio się wczoraj do pracy zabierałem. Że powinienem się zabrać od zupełnie innej strony.

“Nie będę chyba szukał Prosiaczka przy Sześciu Sosnach – rzekł Puchatek do siebie – ponieważ został on zorganizowany w zupełnie innym miejscu, więc najpierw poszukam Zupełnie Innego Miejsca. Ciekaw jestem, gdzie ono jest. – I ułożył sobie w głowie taki plan:

KOLEJNOŚĆ SZUKANIA ROZMAITYCH RZECZY

1.      Zupełnie Inne Miejsce – (żeby znaleźć Prosiaczka).

2.      Prosiaczek – (żeby dowiedzieć się, kto to jest Mały).

3.      Mały – (żeby znaleźć Małego).

4.      Królik – (żeby powiedzieć mu, że znalazłem Małego).

5.      Znowu Mały – (żeby powiedzieć mu, że znalazłem Królika).

„Z czego wynika, że zanosi się na bardzo kłopotliwy dzień” – myślał Puchatek idąc Lasem.W chwilę potem okazało się, że dzień był naprawdę kłopotliwy, gdyż Puchatek tak był zajęty niepatrzeniem, którędy idzie, że stąpnął na kawałek Lasu, który był przez pomyłkę wpuszczony w ziemię.

Gdy rano zabrałem się do pracy tuż na samym początku stąpnąłem na kawałek lasu, który przez pomyłkę był wpuszczony w ziemię. Jedną tylko godzinę zajęło mi wydobywanie się z tego wpuszczenia w ziemię. I potem już poszło. Troche ręcznych rachunków, trochę sprawdzania Mathematicą. I po bólu.

Więc teraz, notka za notką opiszę co znalazłem. Powolutku, we wszystkich detalach.

Dotąd zajmowałem się przetrzenią liniową (1+1)-wymiarową. To model-zabawka. Jednak wiele konstrukcji tej serii notek działa równie dobrze w ogólniejszym, bynajmniej nie zabawnym przypadku, gdy mamy m+n wymiarów: m “dodatnich” i n “ujemnych”. Już dla m=n=2 mamy “prawdziwą” fizykę – choć jeszcze “tylko prawdziwą” i nic więcej. Ot, szczególne przypadki hermitowskich przestrzeni symetrycznych.

A więcej to to mi się marzy:

Jordan algebras, geometry ofHermitian symmetric spaces and non-commutative Hardy spaces

Khalid Koufany ¹ 

1 IECN - Institut Élie Cartan de Nancy

Abstract : These notes were written following lectures I had the pleasure of giving on this subject at Keio University, during November and December 2004. The first part is about new applications of Jordan algebras to the geometry of Hermitian symmetric spaces and to causal semi-simple symmetric spaces of Cayley type. The second part will present new contributions for studing (non commutative) Hardy spaces of holomorphic functions on Lie semi-groups which is a part of the so called Gelfand-Gindikin program.

P.S. Wspominałem już, że interesuję się psychologią. Studiuję podręczniki i publikacje. Zainteresowałem się m.in.  tym skąd się bierze u ludzi to widzenie niewidzialnego? Trafiłem na taki artykuł:

Newton, Einstein i genetyczne uzasadnienie schizofrenii?

W odniesieniu do związku między kreatywnością a schizofrenią, dr Andreasen zwrócił uwagę na interesującą obserwację, że że częstość występowania zaburzeń psychotycznych pozostaje stała w czasie i jest mniej więcej taka sama na całym świecie.

Ponadto badacze udokumentowali wysoką dziedziczność (70%-80%) na podstawie badań bliźniąt jednojajowych i dwujajowych. A jednak osoby dotknięte schizofrenią rzadko zawierają małżeństwa i zazwyczaj nie mają dzieci. Dlaczego więc takie zaburzenia utrzymują się w populacji? Jednym z wyjaśnień może być związek między geniuszem/kreatywnością a poważnymi chorobami psychicznymi.

Przykładem tego związku są historie niektórych z najważniejszych odkryć współczesnej nauki, z których jednym jest Mechanika Newtona. Wiadomo, że Newton miał załamanie psychiczne w wieku około 40 lat; żył samotnie, nie miał dzieci, i prawdopodobnie miał nietypowe zainteresowania i przekonania. Kolejnym ważnym odkryciem jest względność Einsteina, a Einstein był znany z tego, że miał cechy schizotypowe, był zdystansowany, miał trudności w relacjach z innymi i miał syna chorego na schizofrenię. "Czy choroba (lub noszenie diatez dla niej) nadaje zdolność do postrzegania i myślenia w wysoce oryginalny sposób?" pytał dr Andreasen - "Do dostrzegania nowych i odmiennych związków?". Kreatywność jest darem umysłowym, który pozwala ludziom postrzegać w oryginalny i nowatorski

Dostrzegać rzeczy, których inni nie potrafią. Jest ona wspólna dla wszystkich dyscyplin, takich jak matematyka i literatura. Sprawia, że jej posiadacz jest "inny", a czasem podatny na choroby psychiczne, takie jak schizofrenia czy zaburzenia nastroju. Możliwe jest, że schizofrenia utrzymuje się w puli genów ze względu na jej związek z kreatywnością i geniuszem.

Medscape Psychiatry © 2011 WebMD, LLC

Cite this: Michael T. Compton. Newton, Einstein, a Gaggle of Writers - Medscape - Jun 17, 2011.

References

1. Andreasen NC. A Journey into Chaos: Creativity and the Unconscious. Proceedings and abstracts from the 164th

American Psychiatric Association Annual Meeting. Honolulu, HI; 14-18 maja 2011. Wykład 24.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

"Do dostrzegania nowych i odmiennych związków"- z tym właśnie mam poważne trudności. Próbuję nadrobić to pracowitością, cierpliwością, wytrwałością, ale idzie jak po grudzie. Człowiek twórczy ma dobrze. Bowiem pracowitości, wytrwałości, cierpliwości, może się bez trudu nauczyć. Kreatywności natomiast nauczyć się trudno. Albo się ją ma, albo się jej nie ma. Kwestia genów i obwodów w mózgu. Tak przynajmniej ja to widzę. 

P.S. Komora hiperbaryczna powinna mi w tym pomóc.

A propos widzieć: To moi niektórzy komentatorzy kochający mundury i NATO będą uwielbiać, będa zapewne skakać z radości. "Nareszcie! Ale będzie zabawa!":

Kocie przygody:

16/10/22 Widzę, że moje dodatki o widzeniu i wiedzeniu mają powodzenie wśród  komentujących. Zatem jeszcze jeden dodatek - poranny, na przebudzenie:

A gdyby któryś z Czytelników miał niedługo urodziny - polecam:

I jeszcze a propos wiedzenia i widzenia:

Westerners live in denial, convinced they're the good guys