Wszystko co ważne chadza trójkami.

Trzy są modele tej samej geometrii. Dysk jednostkowy na płaszczyźnie liczb zespolonych, półpłaszczyzna o urojonej części dodatniej, też na płasczzyźnie liczb zespolonych, oraz hiperboloida w trójwymiarowej przestrzeni płaskiej z metryką o sygnaturze (++-).

Dyskiem już rzucaliśmy. Dyskiem zresztą rzucałem już w liceum – to moja ulubiona dyscyplina sportowa. Wczoraj jednak Bjab zajrzał do Wikipedii i zapytał o hiperboloidę. Nie było rady, musiałem odłożyć dysk na bok i zacząć rachować. Bowiem gdy są pytania – musza być i odpowiedzi. Najpierw mi nie szło, końce się nie schodziły. Normalny człowiek rzuciłby coś co nie wychodzi i zajął się czymś co zawsze wychodzi. Zawsze się taka rzecz pod reką znajdzie. Jednak w końcu “wyszło”. I wygląda to jak poniżej opiszę.

Tylko może zanim opiszę – jedna dygresja. Gdy mi się te końce nie schodziły – poszukałem trochę po sieci. Nie znalazłem tego czego szukałem, ale znalazłem ciekawy i przystępnie napisany artykuł autorstwa niejakiej Eryki Dunn-Weiss p.t. Introduction to Geometry. Może się w przyszłości przyda.

Poszukałem też kto to taki ta pani. Ma “B.S. in math from the University of Chicago," I  "Ph.D. in neuroscience from Johns Hopkins University. “

A oto nad czym pracuje.

Przechodzimy do pytania Bjaba i modelu z hiperboloidą. Pytaniu towarzyszył ten obrazek z Wikipedii:

Red circular arc is geodesic in Poincaré disk model; it projects to the brown geodesic on the green hyperboloid.

Jest tam jeszcze takie tajemnicze zdanie:

“A geodesic on the hyperboloid is the (non-empty) intersection of the hyperboloid with a two-dimensional linear subspace (including the origin) of the n+1-dimensional Minkowski space. “

To zdanie jest dla mnie zagadką, jednak nie od razu Kraków zbudowano. Zanim coś zbudujemy, należy najpierw ułożyć solidny fundament. I tym się dziś zajmiemy.

Bierzemy więc trójwymiarową przestrzeń rzeczywistą. Współrzędne w tej przestrzeni oznaczymy X,Y,Z. Przy tym Z będzie odgrywało rolę “czasu”, zatem “kwadrat długości” wektora o współrzędnych X,Y,Z to będzie

X^2 + Y^2 - Z^2

a nie X^2+Y^2+Z^2 jak to by było w przestrzeni euklidesowej.

Uwaga: “^” oznacza “do potęgi”.

W tej przestrzeni, w płaszczyźnie Z=0 mamy dysk jednostkowy. Współrzędne punktu na dysku oznaczymy literkami x,y. W naszej trójwymiarowej przestrzeni punkt dysku ma zatem współrzędne (x,y,0).

Mamy tam jeszcze hiperboloidę opisaną równaniem

Z = (1+X^2+Y^2)^(1/2)

Bierzemy proste wychodzące z punktu (0,0,-1). Te przecinają dysk w punkcie (x,y,0) a następnie przecinają hiperboloidę w punkcie X,Y,Z.

Jaki jest związek pomiędzy (x,y) a (X,Y,Z)?

Wyprowadzenie tego związku to problem do rozwiązania dla Czytelnika. Podam moje rozwiązanie:

niech

rho^2 = x^2+y^2

Wtedy

X = 2x/(1-rho^2)

Y = 2y/(1-rho^2)

Z = (1+rho^2)/(1-rho^2)

Zadanie: sprawdź, że faktycznie, wtedy automatycznie

Z = (1+X^2+Y^2)^(1/2).

Chcemy znaleźć metrykę Riemanna na dysku, czyli dX^2 + dY^2 - dZ^2.

Tu już nie chciało mi się liczyć i zatrudniłem program Mathematica.

Oto kod:

rho=Sqrt[x^2+y^2];

X=2x/(1-rho^2);

Y=2y/(1-rho^2);

Z=(1+rho^2)/(1-rho^2);

dX=D[X,x]dx+D[X,y]dy;

dY=D[Y,x]dx+D[Y,y]dy;

dZ=D[Z,x]dx+D[Z,y]dy;

FullSimplify[dX^2+dY^2-dZ^2]

I oto wynik:

(4 (dx^2+dy^2))/(-1+x^2+y^2)^2

I to zgadza się z metryką Riemanna wyliczoną przez nas w jednej z poprzednich notek. Co cieszy.

P.S. Komora hiperbaryczna pomaga w rachunkach!