Sunday, October 30, 2022

Rozwiązanie problemu z notki "Geodezyjne na dysku Poincarégo I"

 W "Geodezyjne na dysku Poincarégo I" napisałem coś takiego:

Lemat: Dla dowolnych pary różnych punktów z,z' na dysku istnieje element g grupy SU(1,1) taki, że

gz=0

gz'= x+0i, gdzie x>0

Dowód:

Dowód jest elementarny gdy użyjemy tego co już wiemy. Pozostawiam jako zadanie domowe dla uważnego Czytelnika. 

To było przed trzema tygodniami. Trochę wody w międzyczasie upłynęło. Czekałem, czekałem. W końcu postanowiłem sam zostać tym uważnym czytelnikiem i dziś przedstawię rozwiązanie w pełnej ogólności, w sygnaturze (n,m), a nie tylko (1,1) jak to było na początku. Bowiem czas nie stoi w miejscu, płynie do przodu, czasem się cofa - jak dziś rano, gdy przestawiałem wskazówki w zegarach w domu. Bo zegarów mam całe mnóstwo.

Najpierw ilustracja do notki. Zamieszczam ją już teraz, dla niecierpliwych nie mogących spać Czytelników.


I będę pisał wyjaśnienia i w miarę pisania tę notkę uzupełniał.

Wyjaśnienia do obrazka.

Zielony dysk obrazuje dziedzinę D w (m+n) wymiarowej przestrzeni zespolonej Cn+m

Dziedzina jest ograniczona ("bounded domain") - jej punktami są macierze prostokątne Z mxn (m wierszy, n kolumn) , spełniające ograniczenie:

Z*Z < Im

lub, co na jedno wychodzi:

ZZ*< In
W przypadku (1,1) mielibyśmy po prostu |z|< 1. W przypadku ogólnym macierze Z i Z* nie są na ogół ze sobą przemienne, więc trzeba uważać na kolejność.

W D mamy dwa różne punkty Z i Z'. Król Z i królowa Z' - jeśli ktoś woli mieć przed oczyma konkrety.

Skupmy najpierw uwagę na krółu, t.j. na Z. Mamy do dyspozycji konektor t(0,Z). 

Postać jawną tego konektora wyliczyliśmy na samym końcu pliku pdf dyskutowanego w notce 
Konektor działa na Z przez transformację ułamkowo liniową (AZ+B)/(CZ+D) (poprawniej:
(AZ+B)(CZ+D)^{-1} ) i przeprowadza Z w 0. Działa też na Z' i przeprowadza to Z' w jakieś Z''.
Teraz król jest w centrum dysku, jak na króla przystało, królowa znalazła się w punkcie Z''.
To jedna transformacja. Złożymy ją z kolejną, obracając cały wszechświat - t.j. dziedzinę D, wokół króla. Zauważmy, że transformacja z B=C=0 przeprowadza 0 w 0. Taką transformację teraz zastosujemy. Z podgrupy U(m)xU(n) ⊂ U(m,n).
A konkretnie jaką?
Przyjrzyjmy się królowej - t.j. macierzy Z''. Odwołamy się do notki Lemat prostokątny z użyciem SVD. Tam znajdziemy:
.. tzw. Singular Value Decomposition Theorem (SVD), które to twierdzenie przytoczę dosłownie z Wikipedii (angielskiej):

SVD Theorem

Specifically, the singular value decomposition of an  complex matrix M is a factorization of the form  where U is an  complex unitary matrix is an  rectangular diagonal matrix with non-negative real numbers on the diagonal, V is an  complex unitary matrix, and  is the conjugate transpose of V. Such decomposition always exists for any complex matrix.  

My zamiast Σ będziemy używać symbolu Λ, zamiast M będzie u nas Z. Zatem nasz rozkład będzie postaci

Z = UΛV*

Użyjemy tego SVD by rozłożyć na czynniki królową, aktualnie Z''. Niech zatem 
Z'' = UΛV*
Z macierzy U i V budujemy macierz blokową, powiedzmy U z blokami
A = U*, B = C= 0, D = V*
Zatem  U
U* 0
0  V*
Macierz ta należy do U(m) x U(n) ⊂ U(m,n). Działamy tą macierzą na królową Z''. Obracamy ją wokół króla. Przechodzi w jakieś Z'''.
Z''' = (AZ''+B)(CZ''+D)^{-1}=(U*(UΛV*))(V*)^{-1}= U*UΛV*V = Λ
Król pozostaje w centrum, królowa staje się diagonalna (na ile ją na to stać, bowiem jest prostokątna) i nieujemna. Nie mogę powiedzieć, że jest dodatnia, bowiem Λ może mieć jakieś zera na przekątnej. Ale nie same zera! Gdyby miała same zera, zlałaby się z królem, co jest u nas niedopuszczalne, bowiem załoąyliśmy na początku, że mamy dwa różne punkty Z,Z'.
Podsumowując: złożenie (iloczyn macierzy) U∘t(0,Z) jest macierzą z U(m,n) rozwiązującą nasz problem.
Do tego dochodzą teraz jeszcze dwie uwagi rozjaśniające (lub zaciemniające?) całą sprawę. 
1) Rozkład SVD nie jest  jednoznaczny. Nam to nie przeszkadza, ważne jest, że taki rozkład istnieje. By zobaczyć niejednoznaczność weźmy prosty przykład. Przypuśćmy, że m=n, i że Z, które rozkladamy jest proporcjonalne do macierzy jednostkowej Z= a I, |a|<1. Wtedy
Z = U aI U* dla dowolnego unitarnego U.
2) Ten środek dysku, punkt 0, nie jest tak naprawdę wyróżniony. Dowolny punkt wewnątrz dysku możemy uczynić jego "środkiem"  wybierając odpowiednią bazę. Rzecz w tym, że wystartowaliśmy, by było mnie abstrakcyjnie, od X=C^(m+n), czyli od konkretnej realizacji (m+n)-wymiarowej przestrzeni liniowej zespolonej. Tam jest uprzywilejowana baza ortonormalna, uprzywilejowane J_0. Moglibyśmy jednak wystartować od ogólnej przestrzeni z indefinitnym iloczynem skalarnym < , > o sygnaturze (n,m). Każde J moglibyśmy wziąć jako J_0. Zamiast macierzy rozważalibyśmy wtedy operatory liniowe. Przy wyborze bazy operator jest reprezentowany przez macierz. Z macierzami raźniej. Z operatorami bardziej abstrakcyjnie. Dobrze jest bawić się macierzami, ale też dobrze wiedzieć, że tak naprawdę D jest przestrzenią jednorodną: nie ma tam uprzywilejowanych punktów. Innymi słowy: trzeba umieć abstrahować, zapominać, gdy trzeba,  o tym co nie jest istotne. Skupiamy się na tych własnościach, które są niezmiennicze ze względu na działanie grupy U(m,n). Tak Feliks Klein zdefiniował "geometrię" - to badanie tych własności, które są niezmiennicze ze względu na działanie danej grupy.
I aby umilić niedzielę - nieco inny dysk:

I ciekawe spostrzeżenia o Polsce i o Polakach ("lunatyctwo na szczudłach") około 14 minuty. Radzę włączyć napisy. Wiedza chroni:
Wojnę na Ukrainie można zatrzymać już dziś.
19,396 views Oct 29, 2022 #ColonelDougMacgregor #RussiaUkraineconflict #JeffreySachs #PresidentJoeBiden #Putin #endwar 

Zakończenie konfliktu Rosja/Ukraina jest dziś możliwe.  Do tego potrzeba wizji, odwagi, pokory i uznania, że zawsze są dwie strony historii. Zobacz mój ostatni wywiad z profesorem Jeffreyem Sachsem o tle tego konfliktu (https://www.youtube.com/watch?v=D1oV2... ) i posłuchaj mojej rozmowy z pułkownikiem Douglasem Macgregorem o konflikcie Ukraina/Rosja tutaj. 

Pułkownik Douglas Macgregor jest odznaczonym weteranem walk, byłym doradcą sekretarza obrony w administracji Trumpa i autorem pięciu książek. Kiedy John Bolton został usunięty z Białego Domu w 2019 roku, Macgregor był jednym z pięciu finalistów rozważanych do wyboru na doradcę prezydenta Trumpa ds. bezpieczeństwa narodowego.

11 listopada 2020 roku rzecznik Pentagonu ogłosił, że Macgregor został zatrudniony jako starszy doradca nowego p.o. sekretarza obrony Christophera Millera,[24][25][26][27] stanowisko, które zajmował do czasu odejścia Trumpa z urzędu w styczniu 2021 roku

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)


"Niech nikt nie uspokaja swego sumienia złudzeniem, że nie może wyrządzić żadnej szkody, jeśli nie bierze udziału i nie "formułuje żadnej opinii. Źli ludzie nie potrzebują niczego więcej, aby osiągnąć swój cel, niż to, że dobrzy ludzie powinni patrzeć i nic nie robić. Nie jest dobrym człowiekiem ten, kto bez protestu pozwala, aby w jego imieniu i przy pomocy środków, które pomaga dostarczyć, popełniano zło, ponieważ nie zadaje sobie trudu, aby użyć swojego umysłu w tej sprawie.



8 comments:

  1. Wrcając do I Chingu z poprzedniej notki. Zastanawia mnie wciąż ta pierwsza zmienna linia. Tak to wygląda w interpretacji Sam Reifler, "I Ching: A new interpretation for modern times"

    "Kociołek został przewrócony
    aby go oczyścić.
    Konkubina urodziła syna.
    i poprawia swoją pozycję.
    Jest konieczne, żebyś zrobił coś wbrew ustalonym zasadom, żeby zamanifestować pewne osobiste zasady. Nie ma w tym nic złego."

    OP co idzie z tą konkubiną i synem i poprawianiem pozycji?
    Jakie ustanowione zasady mam ominąć by pozostać wiernym moim zasadom? No nie wiem. Na razie.

    Więcej zresztą ciekawych rzeczy w tym I Chingu.

    A dziś idę do dentysty, bo mi plomba wypadłą - też zapewne jakiś znak? A potem będę liczył t(Z,Z') dla dowolnych Z i Z'. Wiem jak. Tylko rachunek trochę żmudny....

    ReplyDelete
  2. No i okazało się, że plomba nie wypadła. Trochę sie wykruszyła. Wystarczył zwykły retusz.
    Wczoraj zaś skończyłem oglądanie kolejnego romansu "Milenialsi", angielski tytuł "The hardest thing" :
    https://www.youtube.com/watch?v=KuOo5K0lFT4
    Zadziwiające jest jak to młodzieź w USA nie może się obejść bez ćpania czegoś. Jedni trawkę palą, inni bez "pigułek" wytrzymać nie mogą. Wtedy oczywiście odłożenie pigułek to "the hardest thing". Innych ambicji, jak się wydaje z tego filmu, nie mają.

    ReplyDelete
  3. Przedwczoraj zaś skończyłem oglądanie:

    https://www.youtube.com/watch?v=BViyjolD1DE

    BULWAR ODKUPIENIA 2011 cały film / lektor PL
    607,277 views Sep 6, 2016 Charyzmatyczny kaznodzieja Dan Day stoi na czele potężnego, chrześcijańskiego ruchu wyznaniowego. Podlegają mu wspólnoty na rozległych terenach, które dokładnie kontroluje. Jedynym nieprzyjemnym elementem zakłócającym jego sielankowe życie jest wścibski ateista i profesor uniwersytecki, dr Paul Blaylock, otwarcie szydzący z kaznodziei i wyzywający go na serię debat.

    Końca co prawda nie zrozumiałem, nie udało mi sie ująć go w formuły matematyczne z macierzami blokowymi, ale początek i środek były niezłe. Trochę się uśmiałem.

    Jutro postaram się wyliczyć ogólny konektor t(Z,Z'). Dziś na Halloween będziemy w grupie oglądać filmy o wampirach.

    ReplyDelete
  4. Zaciekawił mnie wywiad z McGregorem. Ogólnie facet jest racjonalny i raczej ma dobrą wolę. Jednak kilka rzeczy przykuło moją uwagę...
    @Arkadiusz
    "I ciekawe spostrzeżenia o Polsce i o Polakach ("lunatyctwo na szczudłach") około 14 minuty."
    „Lunatyctwo” na szczudłach w wydaniu Polski i Polaków… Trochę się rozglądam po Internecie i wśród rodziny i znajomych i widzę, że istnieje duże przekonanie wśród ludzi, że NIC nie uzyskaliśmy jako sojusznik USA, a wyłącznie jesteśmy popychadłem. Większość ludzi nie podąża w tym samym kierunku co NATO lunatykując w tym czasie. A wręcz przeciwnie, działania tych kolonialnych „Polskich” władz (na szczeblu ekonomicznym, administracyjnym i wojskowym), które reprezentują interes NATO są coraz bardzie odbierane jako intruzywne i szkodzące, które są niechciane i dzieją się wbrew uszanowania wolnej woli Polaków. A za brak szanowania wolnej woli, to wiadomo co się dzieje? Czy nie wiadomo?
    Jeśli rzucić okiem w sieci to można zauważyć, że przychylne słowo dla NATO i kolonialnej władzy USA w kraju zwanym Polska, pochodzi wyłącznie od ludzi jak możemy domniemać (a nieraz jest to widoczne bezpośrednio) kupionych i pracujących dla NATO, dla Polskiego rządu, dla różnych instytucji z nimi połączonych, jak i ludzi opłacanych, którzy trudnią się wciskaniem kitu i szerzeniem dezinformacji. Jest też zgraja faktycznych lunatyków zapatrzonych we władzę i wszystko co im wódz powie, Kaczor czy inny Donald.
    W szerzenie dezinfo. wchodzi też uporczywe (dla Polaków) i iluzjonistyczne (korzystne dla NATO) budowanie obrazu Polski i Polaków jako tych co: "Sami tego chcieli.", "Są tak ślepi i głupi, że im się należy." Tak samo „odrodzenie Rzeczypospolitej Obojga Narodów”, to kolejna ściema, o której nikt w rzeczywistości nie myśli, z wyjątkiem może prezesa jednej z partii, który mamrocze o tym przez sen, co ktoś ukradkiem podsłuchał. Wręcz przeciwnie wszystko dąży do tego, aby stworzyć coś na wzór Ukraino-Polu, jako tworu ponad-narodowego. Co może znaczyć, że będzie prowokowany konflikt między zwykłymi Ukraińcami i Polakami, zwykłymi ludźmi, którzy jak najpierw staną przeciwko sobie, to następnie przyjdzie ktoś wyżej kto będzie chciał nimi zawładnąć podług zasady „dziel i rządź.”

    ReplyDelete
  5. Rozbawiła mnie historia z życia bohatera tej rozmowy (a dokładnie sposób jej podania), o tym jak to znał Ukraińców i Polaków, i oni byli takimi wspaniałymi ludźmi względem niego, a z drugiej strony Polacy i Ukraińcy nienawidzili się nawzajem. Oczywiście nie jest to równoznaczne z powiedzeniem, że każdy Polak z Ukraińcem się nienawidzą, jednak przedstawienie takiej historii, w taki sposób bez złagodzenia tego na przykład w sposób: "…To, że akurat Ci Polacy i Ukraińcy, których znałem się nienawidzili, to nie znaczy, że jest to równorzędne z tym, że każdy Polak nienawidzi się z Ukraińcem; jednak o czymś to świadczy, są między nimi pewne waśnie, inaczej byśmy raczej nie widzieli takich sytuacji” oraz te przedstawienie Polaków i Ukraińców, w formie która buduje silny kontrast, gdzie podmiotem jest z jednej strony Polak i Ukrainiec, który ma dobre kontakty z Amerykaninem, a z drugiej strony jest ten sam Polak i Ukrainiec, który się wzajemnie nienawidzi. Jest to informacja przekazana z pogranicza języka hipnotycznego, mająca charakter perswazji/manipulacji. Szczególnie sugestywny jest kontrast, który posiada impet oddziałujący emocjonalnie, gdyż intelektualnie duży kontrast na przykład między wartościami liczbowymi, to po prostu pewna dana. Jak ktoś tego nie widzi, to powtórzę; kontrast (ta jasność) jest między tym opisem o tym jak fantastyczni byli Polacy i Ukraińcy względem, w tym wypadku Amerykanina, a jak nagle wchodzi (ta ciemność) w opisie między relacją między Polakami i Ukraińcami.
    Polacy i Ukraińcy potrafili pokazać, w obliczu wojny, że potrafią współpracować ze sobą pomimo różnic religijnych (Katolicyzm/Prawosławie), językowych, genetycznych (w jakimś tam niedużym stopniu). Mimo polityki kraju, która nie wprost prowokowała nierówność, wywyższała jednych nad drugimi, na razie jest stabilnie. Jeśli ktoś wygra, to co się dzieje, to tylko poprzez miłość i współpracę. Z pewnością będą jeszcze wzbudzać strach między ludźmi. Tak aby bojąc się nawzajem, stali się agresywni wobec siebie.
    I jeszcze: Na czym niby ma polegać plemienność wspomniana przez McGregora? W tej chwili nie ma plemienności. Polska Republika Ludowa potrafiła mimo tych wszystkich układów między Rosją i Polską, korupcji i sprzedajnych polityków, tak jak teraz tych naszych aktualnych względem Stanów Zjednoczonych, nauczyć ludzi jedności i patriotyzmu. To nie jest tak jak w okresie zaborów czy w Polsce między wojennej. Albo tak jak było kiedyś, gdy Gdańsk walczył o suwerenność od Polski i nie tylko od Polski. Polacy z różnych części zaborów różnili się między sobą... Bardziej odznaczali się Górale czy Kaszubi itp. Teraz tego nie ma. Nie ma znaczącej różnicy między Północą a Południem Polski. Przejeżdżasz z Gdańska do Krakowa i masz to samo. Polska od Morza aż do Tatr. Komunistom raczej chodziło oto, żeby zjednać sobie jak najwięcej obszarów, które mogliby podporządkować Związku Radzieckiemu, efektem ubocznym było połącznie Polaków. Teraz kombinują żeby antagonizować Polaków względem fałszywych partyjnych opozycji i ugrupowań politycznych, jednak czy to się na dłuższą metę uda? Raczej nie. W Polsce całe szczęście są znikome szanse na wojnę domową. To Tyle. Chętnie odniósłbym się do Bidena. W ogóle ciekawą różnicę zauważyłem między autorem tego bloga, a Bidenem. Chętnie bym o tym napisał w kolejnym komentarzu.

    ReplyDelete
  6. Jeśli mnie pamięć nie myli, to w jednym z poprzednich wpisów na tym blogu można znaleźć informacje o Bidenie, który ma wybrakowany mózg. Zaciekawiło mnie to i postanowiłem, że po oglądam różne zdjęcia Bidena i zobaczę czy on tam faktycznie ma jakieś braki, jakieś wady w budowie mózgu, czy tam coś widać czy nie i porównam sobie jego zdjęcie ze zdjęciem Arkadiusza :-) Bo w sumie dlaczego nie. Zakładam, że Ark ma wszystko na swoim miejscu, w szczególności, że nie jest politykiem tylko naukowcem :-)

    I w sumie wyszło ciekawie, ponieważ zauważyłem wyraźny kontrast. Ciekawie to się złożyło. Jeśli zobaczycie sobie to zdjęcie Bidena ( https://tiny.pl/wwq49 ), to zobaczycie wyraźnie jak środkowa część jego czoła jest mocno wysadzona do przodu i zapada się, wręcz wydaje się wklęsła, im bardziej zbliżamy się ku łuku brwiowego w swoich obserwacjach.

    Z kolei na tym zdjęciu AJ ( https://tiny.pl/wwqns ). Wygląda to wręcz przeciwnie. Środkowa część czoła jest płaska, a ta część nad łukiem brwiowym jest mocno wysadzona do przodu.

    Kwestia jeszcze interpretacji. Jestem skłonny z interpretować to tak, że Biden jak i Jadczyk mają naturalny i normalny układ środkowej części kory przedczołowej. Natomiast już dolna część kory przedczołowej u Bidena jest wybrakowana, a u Jadczyka pełna.

    Kora przedczołowa ma istotne funkcje: "Kora przedczołowa pełni funkcję w działaniu pamięci roboczej, planowaniu ruchów i działań, rozważania ich konsekwencji, a także wpływa hamująco na spontaniczne i często gwałtowne stany emocjonalne, których źródłem jest podwzgórze i układ limbiczny. Osoby z uszkodzeniami tych obszarów postępują w sposób społecznie nieakceptowany, ponieważ trudności sprawia im modyfikacja swojego zachowania w zależności od kontekstu." Źródło: https://pl.wikipedia.org/wiki/Kora_przedczo%C5%82owa

    Co warto jeszcze wziąć pod uwagę to to, że ten specyficzny obszar nad łukiem brwiowym, stanowiący dolną część kory przedczołowej jest też miejscem, z którym utożsamia się czakrę/centrum energetyczne Trzeciego Oka, któremu przypisuje się wyższe funkcje świadomości, w tym zdolności psychiczne. Myślę, że to w dużej mierze alegoria dla tego obszaru układu nerwowego związanego z wyższymi emocjami i zdolnościami kognitywnymi.

    Poza tym chciałbym zwrócić uwagę, na to, że byłby to dobry moment, żeby przyjrzeć się temu, co dzieje się na Bliskim Wschodzie. To co przede wszystkim pokazało NATO i USA w ostatnich kilku dziesięcioleciach, to rasizm wobec ludów Semickich, a oni są związani z tymi, których moglibyśmy określić jako Arabowie, choć wiadomo, nie tylko z nimi.

    Ostatnio kilkakrotnie widziałem przywoływanego newsa o tym jak to Biden "nakrzyczał na Zieleńskiego." Wygląda to tak, jakby nowy przekaz medialny był budowany, który można by miej więcej wyrazić słowami: "Zieleński nas zawiódł. Zieleński nie spisał się. Mimo tej całej pomocy Ukraina i tak nie dała sobie rady. Co za sieroty, to wszystko ich wina." I tak jak nie mogą wbić się w Rosję przez Ukrainę tak zaczną szukać słabego punktu lub punktów na Bliskim Wschodzie do wciągnięcia Rosję w nową wojnę. Jak wiemy Rosja stała się przez te wszystkie sankcje bardziej zależna od Wschodu, co nie jest oczywiście niczym złym, jednak jej przetrwanie zależy teraz bardziej od powodzenia jej Wschodnich i Blisko Wschodnich partnerów.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Nie przykładałbym wielkiej wagi do kstałtu czaszki. Kotka ma swój kształt małej czaszki i jest miła (choć czasm do krwi podrapie i pogryzie). Ja nie gryzę, ale bywam niemiły. Ważne jest jak to co pod czaszką jest poukładane, ze sobą powiązane. A to nie tylko nerwy, ale i cała chemia, geny, hormony etc.

      A to z Zieleńskim, , że jakaś zmiana wizerunku jest przygotowywana - to chyba trafnie zauważyłeś.

      Delete
    2. Tak, wygląd może być mylący. Żeby być pewnym, tylko co do samej głowy, to by trzeba było pomierzyć wszystko dokładnie, zrobić prześwietlenia. A i tak najważniejsze z tego wszystkiego to geny.

      Delete

Thank you for your comment..

Why? The Purpose of the Universe - Part Nine

Laura Knight-Jadczyk  In the previous post , we learned that Philip Goff proposes that the fine-tuning of the cosmos indicates that the emer...