Magma to zbiór wyposażony w operacje mnożenia, na ogół niełaczną. Gdy operacja ta jest łączna, wtedy taka magmę nazywamy półgrupą.
Niech G będzie półgrupą, wtedy możemy opuścić nawiasy. Skoro bowiem (ab)c=a(bc)), możemy to "słowo" zapisac po prostu jako abc.
Możemy teraz zdefiniowac "potęgi"
a1=a
an = a an-1.
Łatwo wtedy się przekonać, że
am an = am+n .
(am)n = amn
Definicja: Pólgrupę G nazywamy grupą jesli posiada ona element e taki, że1) ea=ae dla każdego a z G
oraz
2) dla każdego a z G istnieje taki b z G, że
ab = e = ba.
Ćwiczenie 0: Udowodnij, że każda grupa jest, w szczególności, półgrupą.
W grupie raźniej
Ćwiczenie 1: dla każdego a element b o własnościach 2 jest jedyny.
Oznaczmy go przez a-1.
Ćwiczenie 2: Pokazać, że e-1 = e.
Ćwiczenie 3: Jesli G jest grupą, zaś a jej elementem, to mamy
(a-1)-1. = a.
W grupie może zatem zdefiniować ujemne potegi każdego elementu
a-n =(a-1)n.
Ćwiczenie 4:
Jeśli G jest grupą i a1,...,an są jej elementami, to
(a1a2...an)-1 =(an)-1...(a2)-1(a1)-1.
Przykład grupy: Nie X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Przez Aut(X) oznaczamy zbiór wszystkich wzjemnie jednoznacznych odwzorowań f: X → X. Wtedy Aut(X) jest grupą za względu na operację składania owzorowań fg = f∘g, gdzie
(f∘g)(x) = f(g(x)).
W poście, już z początku jest coś takiego: "(a^m)^n >= a^mn". Wiem, że to nie do końca jest istotą notki i może odpowiedź na moje pytanie będzie dla was czymś oczywistym, jednak zainteresowało mnie to, że jest znak ">=", tak, czyli istnieje taka możliwość, że dla pewnych podstawionych wartości liczb lewa strona równania będzie większa od prawej (bo w końcu znak >= to znak "większe lub równe"). Ja coś tam sobie podstawiałem, lecz zawsze mi wychodzi na równo (lewa równa się prawej); ktoś wie jakie podstawione liczby dadzą: Lewa > Prawa strona.
ReplyDelete@Luks
ReplyDeleteA już wiem chyba o co chodzi. Jeszcze raz... Wcześniej mamy: a^m*a^n = a^m+n. Wtedy, w tych zasadach "potęgowania" (zwróćmy uwagę, że potęgowanie obejmuje cudzysłów), to mógłbym zinterpretować to jako: m*n = m+n, wtedy faktycznie, w: (a^m)^n >= a^mn, lewa część równania ma prawo być większa lub równa prawe stronie, gdyż na przykład jeśli m=2, a n=3, to m*n=2*3=6, a m+n=5. No to wtedy faktycznie 6>5. Więc wtedy, ">=" na prawo tam być. Generalnie ja pamiętam potęgowanie wyniesione ze szkoły, że potęgi po prostu trzeba ze sobą przemnożyć i to jest wszystko, co ja mogę z tym zrobić, tak jak na przykład to jest na tej stronie ^^, to po prostu tak siedzi w głowie ugruntowane: https://www.matemaks.pl/potegowanie-i-pierwiastkowanie.html
"Ćwiczenie 0: Udowodnij, że każda grupa jest, w szczególności, półgrupą." Czy mógłbym prosić kogoś o zrobienie chociaż tego pierwszego zadania, w tym wypadku jest to ćwiczenie nr. 0? Nie wiem jak się do tego nawet zabrać, a jak by ktoś przedstawił rozwiązanie krok po kroku, to bym sobie to przeanalizował, porównując z teorią, odnajdując zasadność tych kroków służących rozwiązaniu. Stawiam piwo https://tiny.pl/wtnb5
ReplyDelete""Ćwiczenie 0: Udowodnij, że każda grupa jest, w szczególności, półgrupą." Czy mógłbym prosić kogoś o zrobienie chociaż tego pierwszego zadania, w tym wypadku jest to ćwiczenie nr. 0?".
ReplyDeleteDobrze. A zatem tu znajdziesz definicję grupy: https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematyka)
Spójrz na definicję dla liczb rzeczywistych.
Mamy działanie dwuargumentowe, łączność, element neutralny oraz element odwrotny. Jeżeli te warunki są spełnione obiekt jest grupą.
A teraz półgrupa, czyli magma, w której działanie jest łączne.
Grupa z definicji spełnia zarówno łączność, jak i dodatkowe własności, w grupie istnieje bowiem również element neutralny, jak i odwrotny. Stąd grupa jest szczególnym przypadkiem półgrupy. Jeżeli potrzebujesz jakichś dodatkowych wyjaśnień lub cokolwiek nie jest dostatecznie klarowne - pytaj.
@Luks
ReplyDelete"W poście, już z początku jest coś takiego: "(a^m)^n >= a^mn". "
To była moja pomyłka. Przepraszam. Już poprawiłem. Poprawiłm też Ćwiczenie 2 - gdzie też była pomyłka.
@Liwiusz.
ReplyDeleteDziekuję.
Odwołując się natomiast do bardziej codziennych intuicji mógłbyś wyobrazić sobie, że półgrupa to motyl o płynnych ruchach (niech stanowią alegorię łączności). Element neutralny to obrót motyla o 360 stopni. Po takim obrocie wraca on bowiem do poprzedniej pozycji, jego oczy spoglądają w ten sam punkt ponownie. Element odwrotny mógłby zaś być obrotem odwrotnym (jeżeli działaniem jest mnożenie) lub przeciwnym (jeżeli działaniem jest dodawanie) do pewnego obrotu a. Niech a będzie obrotem o 30 stopni. Wówczas jako -a będziemy rozumieć obrót o 30 stopni w przeciwnym kierunku. Niech teraz z kolei a będzie obrotem powodującym, że motyl stoi na głowie. Wówczas 1/a będzie obrotem, który ponownie sprawi, że stanie on na nogach, a konkretniej odnóżach (skoro to motyl).
ReplyDeleteOczywiście możesz też wybrać inne działanie. Jedyny warunek jest taki, aby było ono dwuargumentowe oraz wewnętrzne (przyporządkowujemy dwóm elementom jeden element zwany wynikiem, np. a+b=c - c jest wynikiem) i miało działanie odwracalne (np. a-a = 0, a*(1/a)=1 etc.) oraz spełniało warunek łączności. W przypadku dodawania, jak i mnożenia te warunki zachodzą dla liczb rzeczywistych.
"np. a+b=c - c jest wynikiem".
ReplyDeleteDla ścisłości: W tym zdaniu "-" oznacza myślnik, nie zaś minus.
Dowód jedyności elementu odwrotnego:
ReplyDeleteNiech (G, &) będzie grupą, której elementem neutralnym jest e. Tutaj symbol & rozumiemy jako dowolne działanie spełniające własności wspomniane w jednym z moich poprzednich komentarzy.
Załóżmy, że istnieją b,c należące do G takie, że: a & b = e oraz a & c = e.
Oznacza to nic innego, jak to, że zarówno b i c są elementami odwrotnymi do a.
Jakie wnioski płyną z powyższego założenia?
b = b & e = b & (a & c) = (b & a) & c (na mocy łączności działania grupowego) = e & c = c. A zatem b = c, co dowodzi jedyności elementu odwrotnego.
"Ćwiczenie 2: Pokazać, że e-1 = e."
ReplyDeleteNiech a \in G, gdzie (G,&) jest grupą, której elementem neutralnym jest e.
Połóżmy a = e^-1. Wówczas:
a & e = e & a = e
Stąd
a & e = e, co implikuje, że:
a & e & e^-1 = e & e^-1, stąd zaś a = e.
A zatem a = e = e^-1, czyli e = e^-1.
I ostatnie ćwiczenie:
ReplyDelete"Ćwiczenie 3: Jesli G jest grupą, zaś a jej elementem, to mamy
(a-1)-1. = a.".
Niech ponownie (G, &) będzie grupą.
Niech a \in G.
Implikuje to, iż:
e = a^-1 & a, zatem
(a^-1)^-1 & e = (a^-1)^-1 & (a^-1 & a)
Na mocy łączności mamy zatem:
(a^-1)^-1 & e = ((a^-1)^-1 & a^-1) & a
Stąd zaś wynika, że:
(a^-1)^-1 & e = e & a, a zatem (a^-1)^-1 = a z definicji elementu neutralnego.
Ach, tu jest jeszcze jedno ćwiczenie, które też nazywa się ćwiczenie 3., a powinno nazywać się ćwiczeniem 4.
ReplyDeleteA mianowicie takie:
"Ćwiczenie 3:
Jeśli G jest grupą i a1,...,an są jej elementami, to
(a1...an)-1 =(an-1...a1)-1."
Z tym, że uważam, iż jest ono niejasno zadane. Powinno być tak:
"Ćwiczenie 4:
Jeśli (G,&) jest grupą i a1,...,an są jej elementami, to
(a1&...&an)^-1 =an^-1&...&a1^-1. ".
Czy nie to miałeś na myśli?
W ostatnim ćwiczeniu przedstawię dowód na mocy indukcji matematycznej.
ReplyDeleteNiech (G, &) będzie grupą z elementem neutralnym e.
Niech a1, a2,…,an \in G, zaś a1^-1, a2^-1,…,an^-1 będą elementami odwrotnymi odpowiednio.
Postulujesz, że:
(a1 & a2 & … &an)^-1 = an^-1 & … & a2^-1 & a1^-1.
Sprawdzimy zatem czy to zachodzi dla jednego elementu.
(a1)^-1 = a1^-1. Ten dowód jest trywialny.
A zatem sprawdźmy dla dwóch, chcemy by zachodziło:
(a & b)^-1 = b^-1 & a^-1.
Zatem:
(a & b) & (a & b)^-1 = e z definicji elementu neutralnego.
Stąd:
a & (b & (a & b)^-1) = e na mocy łączności.
Możemy napisać więc:
b & (a & b)^-1 = a^-1,
co implikuje, że
b^-1 & b & (a & b)^-1 = b^-1 & a^-1
A zatem z definicji elementu odwrotnego:
e & (a & b)^-1 = b^-1 & a^-1
I z definicji elementu neutralnego:
(a & b)^-1 = b^-1 & a^-1, co było do okazania.
Zatem dla dwóch elementów się zgadza. Dalszy ciąg dowodu w kolejnym komentarzu.
Dalszy ciąg dowodu indukcyjnego.
ReplyDeleteChcemy teraz pokazać, iż z tego, że jest to prawdą dla k wynika, że jest to prawda również dla k+1.
A więc:
(a1 & a2 & … & ak & ak+1)^-1 = (( a1 & a2 & … & ak) & ak+1)^-1 =
= ak+1^-1 & (a1 & a2 & … & ak)^-1 =
= ak+1^-1 & (ak^-1 & … a2^-1 & a1^-1) =
= ak+1^-1 & ak^-1 & … a2^-1 & a1^-1.
q.e.d.
@Liwiusz
ReplyDelete"Było niejasne" - to eufemizm. Było wręcz fałszywe. Dziękuję. Juz poprawiłem.
"(a1...an)-1 =(an)-1...(a1)-1."
ReplyDeletePo pierwsze: Ćwiczenie dalej nazywasz trzecim, a to ćwiczenie czwarte.
Po drugie: te kropeczki nie informują nas o istnieniu działania grupowego. Co to jest? Ciąg elementów? Nie ma tu zawartej tej informacji. Spójrz jak jest to napisane w moim dowodzie indukcyjnym. Nie powinno być samych kropeczek, ale jakieś działanie. np. &, *, #, cokolwiek.
Niestety tutejszy edytor nie ma opcji subscript i superscript i muszę przechodzić do kodowania w html.
ReplyDeleteW komentarzach zaś html nie jest tu dozwolone z wyjątkiem bold, italics, i linków url.
@Liwiusz
ReplyDeleteFaktycznie. Poprawiłem, dziekuje.
"Faktycznie. Poprawiłem, dziekuje.".
ReplyDeleteCały czas nie wszystko poprawiłeś. Co to są kropeczki? Powinno być tak:
(a1 & a2 & … &an)^-1 = an^-1 & … & a2^-1 & a1^-1.
@Liwiusz
ReplyDelete"Co to są kropeczki?"
Trzeba sie domyślić, że idzie o mnożenia w grupie. Ćwiczenie na domyślanie się. Faktycznie Twoja notacja jest jaśniejsza. Słusznie na przykład Tichy się na mnie obrusza, że piszę bałaganiarsko.
Wow. Niech Wszechświat Ci wynagrodzi Liwiuszu. Przebrnąłem przez część Twoich komentarzy. Szczególnie pomocne dla mnie są różne wizualizacje. Taka jak ta Twoja z motylem (obracałem go sobie w wyobraźni i łączyłem z tym, co pisałeś na temat tego co zmiany w położeniu oznaczają). To jest bardzo pomocne, gdyż w szczególności z początku brakuje odniesienia do takiej wikipedialnej teorii i tego całego żargonu.
ReplyDeletePoza tym poznanie rzeczy odbywa się również przez wyobraźnię, ja przez większość życia używałem swojej intuicji i wyobraźni, w tej chwili zmierzam w kierunku matematyki, aby wyrównać środek ciężkości swojego umysłu (że tak powiem), wyrównać części stricte pracujące na rzecz logiki i analizy z wyobraźnią i intuicją.
W tej chwili nie mam żadnych pytań, ani uwag do tego co napisałeś, bo potrzebuję jeszcze czasu, żeby sobie to przyswoić wszystko, tu coś doczytać, tam coś podpatrzeć, wrócić do tego i owego, zadumać się, zrobić jakieś notatki w zeszycie, przepisać jakiś wzór lub poprzekształcać.
@ Luks
ReplyDeleteBardzo się cieszę, że moja pomoc okazała się Tobie przydatna. Dziękuję również za Twoje miłe słowa. Bardzo wiele dla mnie znaczą.
@ Luks
ReplyDeleteGdybyś zaś chciał, mogę dla Ciebie jutro przedstawić jeszcze jakieś dowody (te zadane w notkach lub inne). To miłe czynić coś dla kogoś, kto tego potrzebuje i to docenia. Cieszę się, że tu jesteś.
@Liwiusz
ReplyDelete"Gdybyś zaś chciał, mogę dla Ciebie jutro przedstawić jeszcze jakieś dowody (te zadane w notkach lub inne). To miłe czynić coś dla kogoś, kto tego potrzebuje i to docenia. Cieszę się, że tu jesteś"
Jestem szczęśliwy z racji takiego stosunku do mnie. Również generalnie aprobuję taką postawę jaką masz wobec innych ludzi. I tak, faktycznie doceniam to co robisz.
Na tę chwilę jestem początkujący i potrzebuję sporo czasu żeby to przetrawić wszystko, zbyt szybkie wchodzenie w kolejne rzeczy nie ma dla mnie sensu, na ten moment. Jednak bardzo się cieszę, że jednoczymy się wokół wiedzy, w tym przypadku, wokół matematyki.
Mam nadzieję, że Bóg/Wszechświat będzie łaskawy i przyjdzie nam jeszcze popracować razem. Z czym, póki co, to ja raczej będę prosił i pytał, choć też liczę na to, że sam szybko zacznę zauważać rożne rzeczy i coś wnosić. Choćby takie drobnostki jak to, że zauważyłem, że coś jest nie tak z znakiem ">=" przy okazji definicji (jest w pierwszych komentarzach pod tym postem).
@Luks
ReplyDeleteA co najbardziej interesuje Cię w matematyce lub fizyce? To pytanie z serii: "Dokąd zmierzasz?".
Początki moich zainteresowań, nie licząc takich jak gry w piłkę na podwórku czy śledzenie sytuacji drużyn piłkarskich w rozgrywkach. Były to takie zainteresowania jak ezoteryka, psychologia, kosmologia, zadawanie sobie pytań po co to wszystko (po co życie) i w którym kierunku iść, aby zrobić coś dla swojej duszy. W pewnym momencie trafiłem na Laurę, Arka i Kasjopejan i to był prawdziwy skok w rozwoju dla mnie. Wyzbyłem się wielu blokad, ugruntowałem się w nowej postawie i nastawieniu, zdobyłem wiele nowej wiedzy, odpowiedziałem sobie na wiele pytań, wszystko właśnie dzięki właściwemu źródłu inspiracji. Doszedłem do wielu wniosków i sposobów radzenia sobie w życiu, co przyniosło mi wiele radości i pozytywnych rezultatów.
ReplyDeleteOprócz tego, co mógłbym nazwać praktycznym zastosowaniem wiedzy psychologicznej/ezoterycznej w codziennych życiowych sytuacjach. Angażuję się również w filozoficzne i kosmologiczne zrozumienie budowy wszechświata oraz natury naszych doświadczeń w nim. Za inspirację używam oczywiście Kasjopejan Laury, aczkolwiek też i Ra w bardzo ciekawy sposób przedstawiają swoją kosmologię, przekazują w jaki sposób zbudowany jest wielowymiarowy i wielo-gęstościowy wszechświat lokując w nim nasze doświadczenia.
Przykładem jest koncepcja Ra o tym, że wszechświat bierze się z Jedności, a wszystko to co jest, jest pewnym odstąpieniem lub odkształceniem od stanu Jedności, co prowadzi do różnorodności i przeciwieństw.
Na przykład w Jedności nie istnieje coś takiego jak Dobro, ponieważ, aby zidentyfikować Dobro potrzebne jest również i Zło, aby więc mogło coś zaistnieć musi dojść do pewnych odkształceń/odstąpień. W najprostszy, lecz też ograniczony sposób można wyobrazić sobie, że te odkształcenia są jak wziąć jednolity zbitek plasteliny (Jedyny), urwać część tego zbitka i uformować z tego zbitka dwa obiekty załóżmy kulkę i sześcian, kulka może być dla nas Dobrem, a sześcian może być Złem.
W takiej sytuacji mogę znowu wziąć tę kulkę i ten sześcian, ścisnąć to w rękach niszcząc nadaną im strukturę i włączyć to z powrotem do jednolitej masy, z której to się wzięło (co oznaczałoby powrót do Jedynego w sensie znaczenia tej struktury), lub też inaczej, mogę cieszyć się powstałymi formami i tworzyć kolejne formy, urywając po kawałku tej jednolitej pierwotnej masy plasteliny odkształcając jej neutralny kształt formując coś nowego i nowego.
I jak to się ma do matematyki, otóż są takie kierunki w matematyce i fizyce, w których ja dostrzegam pewne analogie do tego, do czego dochodzę przez wyobraźnię, intuicję i opisuję słowami. Przykładem jest np. mój pierwszy komentarz pod jednym z postów na tym blogu: https://www.blogger.com/comment.g?blogID=2578466951908477174&postID=631228841175585698 W tym komentarzu, mimo, że dopiero co poznaję algebrę, już znajduję pewne analogie między tym co zgłębiam głównie przez wyobraźnię i słowa, a tymi strukturami algebraicznymi, o których tam mowa.
Kontynuacja komentarza (są obostrzenia co do ilości znaków):
ReplyDeleteMiędzy innymi, w związku z tym jestem zmotywowany do nauki algebry, tych motywacji jest tak naprawdę kilka:
1) Nauczenie się "języka" matematyki, który jest obiektywnym "językiem" porozumiewania się, dla uściślenia i doprecyzowania wszystkiego tego co jest możliwe temu uściśleniu i doprecyzowaniu
2) Poznanie nowych struktur algebraicznych i nie tylko, aby popychać swój umysł do budowania nowych teorii opartych o analogie między tymi strukturami, a różnymi koncepcjami i wyobrażeniami dla uporządkowania i wzajemnego uzupełniania się. Mogę na przykład wziąć jakąś strukturę algebraiczną i porównywać jej wzór z tym jak wyobrażam sobie jakiś obszar rzeczywistości i jej działanie, klarując i budując nowy obraz tego jak coś działa.
3) Rozwinięcie wiedzy matematycznej, ogólnie, otwierając inne ścieżki, które w tej chwili są dla mnie zakryte. Na przykład zacząć programować sobie coś, co wymagałoby ode mnie wiedzy matematycznej, stosując pod postacią kodu te różne struktury matematyczne, patrząc jak rzeczy mają się w praktyce.
4)...wątpię żebym wyczerpał wszystkie swoje motywacje, jednak na tę chwilę, wystarczą te trzy powyższe...
Bardzo ładnie to napisałeś, szczerze i od serca. Myślę podobnie, choć brak mi wystarczającj wyobraźni. Wsiąkam w detale. No ale, pocieszam się, ktoś te detale musi jednak robić.....
ReplyDelete@Luks
ReplyDeleteJa również bardzo dziękuję Ci za tak ciekawe i wyczerpujące wyjaśnienie.
"Diabeł tkwi w szczegółach." :-) - sporo w tym prawdy; w pracy detektywa, to właśnie dzięki detalom dochodzi się do przełomowych odkryć ważnych dla rozwiązania sprawy. A wyobraźnię można wyćwiczyć tak samo jak wrażliwość i skupienie na detale...
ReplyDelete