Działanie grupy na zbiór

Ta notka będzie sucha.

Definicja. 

Niech G i G' będą grupami. Odwzorowanie f: G → G' nazywamy homomorfizmem jeśli

1) f(e) = e

2) f(gh) =f(g)f(h)

Zatem: jedynka w G przechodzi w jedynkę w G', i obraz iloczynu jest iloczynem obrazów.

Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór tych g z G dla których f(g)=e.

Ćwiczenie 0: pokazać, że jądro homorfizmu jest pofgrupa grupy G (tzn zawiera jedynkę i jest zamnknięte ze względu na mnożenie).

Oznaczyliśmy przez Aut(X) grupę wszystkich wzjemnie jednoznacznych odwzorowań X w siebie, ze składaniem odwzorowań jako działaniem grupowym.

Definicja.

Jesli X jest zbiorem i G jest grupą, lewym działaniem G na X nazywamy homomorfizm L:G → Aut(X).

Gdy działanie L jest ustalone, zwyle piszemy ax zamiast L(a)(x). Fakt, że L jest homomorfizmem zapisujemy wtedy jako

ex=x dla każdego x

(ab)x = a(bx) dla każdych a,b z G, x z X.

Definicja:

Działanie nazywmy efektywnym jeśli z ax=x dla wszystkich x wynika a=e.

Ćwiczenie 1: Pokazać, że działanie jest efektywne wtedy i tylko wtedy gdy jądo homorfizmu L jest trywialne.

Definicja: 

Niel L będzie działaniem G na X. Orbitą Ox elementu x nazywamy zbiór

Ox ={ax: a ∊ G}

Definicja: Działanie L nazywamy tranzytywnym gdy dla dowolnych x,y ∊ X istnieje g∊G takieże y=gx.

Ćwiczenie 2: pokazać, że działanie jest tranzytywne wtedy i tylko wtedy gdy Ox = X dla każdego x∊X.