Jest ta notka dzisiejsza kolejna z serii "Przejścia fazowe model zabawka". Jednak tej serii i tak nikt nie czyta, piszę ją sobie a muzom, zatem nie ma znaczenia jakim tytułem notkę opatrzę. Lubię wiązki.
Każda przestrzeń ilorazowa jest wiązką - jak się na to właściwie popatrzy. Każda klasa abstrakcji jest włóknem - jak się na to właściwie popatrzy. Zbiór klas abstrakcji, czyli iloraz, jest bazą.
Dla nas bazą aktualnie jest jednostkowy dysk otwarty na płaszczyźnie zespolonej. Z każdym punktem z z tego dysku związaliśmy najpierw "projektor" Ez, a potem "symetrię" Sz = 2Ez-1. Nawet jawnie postać tego Sz wypisaliśmy:
Dla z=0 mamy środek dysku jednostkowego - cetnrum. Czemu jest równe to S0?
Otóż S0 = J, jak ktoś pamięta macierze Pauliego J=σ3, to jest ta macierz definiująca nasz indefinitny iloczyn skalarny
<ξ,ξ'> = (ξ,Jξ')
gdzie ( , ) jest "zwykłym iloczynem skalarnym w C2.
Teraz z każdą symetrią S zwiążemy nowy iloczyn skalarny, będziemy go oznaczać < , >S:
<ξ,ξ'>S = <ξ,Sξ'>.
Iloczyn skalarny związany w ten sposób z Sz będziemy oznaczac po prostu < , >z.
Zadanie domowe: Udowodnij, że zachodzi następujące
P.S. W ciagu ostatnich trzech dni trzy razy zmieniałem detkę w rowerze, a dziś przy bezwietrznej pogodzie zwalił nam się dąb:
"Jednak tej serii i tak nikt nie czyta, piszę ją sobie a muzom, zatem nie ma znaczenia jakim tytułem notkę opatrzę.".
ReplyDeleteTę serię ktoś czyta.
"Zbiór klas abstrakcji, czyli iloraz, jest bazą.".
ReplyDeleteIloraz czy raczej przestrzeń ilorazowa?
Dowód został przesłany mailowo.
ReplyDeleteFor the homework, not the proof but it looks like the imaginary value is always positive and the real value is always negative which would make the dot product always positive. Fiber bundles seem nice in that they can add symmetry groups for the base. Bosons still seem to need their own symmetry group (even if it's the same group) and there's that bimetric-like idea where inertia can have its own symmetry group.
ReplyDeleteJednak czytają. Nie wszystko rozumieją ale czytają :).
ReplyDeleteDziękuję. Skłoni mnie to do przyłożenia się do tego by w przyszłych notkach było także słowami opisane co robimy i po co.
DeleteWystarczy zatem udowodnić, że
ReplyDelete1 + |z|² ˃ 2(Re z)
A to jest łatwe gdyż
1 + |z|² ˃= 1 + (Re z)²
więc
1 + |z|² - 2(Re z) ˃= 1 + (Re z)² - 2(Re z)
więc
1 + |z|² - 2(Re z) ˃= (1 - (Re z))²
więc
1 + |z|² - 2(Re z) ˃= (1 - (Re z))² ˃= 0
ale (Re z) jest mniejsze od 1 więc
1 + |z|² - 2(Re z) ˃= (1 - (Re z))² ˃ 0
więc
1 + |z|² - 2(Re z) ˃ 0
więc
1 + |z|² ˃ 2(Re z)