Geodezyjne na dysku Poincarego a psychologia kwantowa

Wspominałem już uprzednio, że interesuję się psychologią. Czy kwantową? Być może i kwantową, bo pełną sprzeczności. W poprzedniej notce cytowałem jeden fragment z takiego jednego psychologicznego "poradnika". Więc dziś, w ramach kontynuacji, kolejny fragment:

Uznaj wartość opinii innych ludzi... nawet jeśli te opinie różnią się od Twoich.
Zawsze możesz szanować kogoś za jego prawo do posiadania innej opinii niż ty... nawet jeśli zachowuje się lub reaguje w sposób, który sprawia Ci w danej chwili trudności.
Stwórz środowisko, w którym szczęście innych jest ważniejsze niż twoje samouwielbienie. Szukaj pozytywnych doświadczeń, którymi możesz podzielić się z innymi... i pozwól sobie by naprawdę cieszyć się z ich sukcesów i osiągnięć.
Nie pozwól, abyś stał się zazdrosny, zgorzkniały lub pełen pretensji do innych;
W samej rzeczy powinieneś próbować powstrzymać się od przygnębienia z powodu czyjegoś sukcesu.

Unikaj nadmiernej samokrytyki i negatywnego self-talk. Mów uprzejmie i pewnie o sobie.  Pozwól, aby inni komplementowali cię za Twoje dobre cechy... ale nie dawaj im uznania za te rzeczy, które czujesz, że są poniżej ciebie w tej chwili. Podejmij świadomy wysiłek, aby przyjąć pozytywne i optymistyczne nastawienie do wszystkiego co darza się w twoim życiu codziennie; nawet jeśli inni nie mogą zobaczyć tego teraz, ty w końcu będziesz w stanie zobaczyć dowody wspaniałych możliwości które są teraz przychodzące twoją droga... możliwości, które pozwalają ci osiągnąć wielkie poziomy osobistej doskonałości.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

A dalej, w ramach kontynuacji, geodezyjne na dysku, te, które są dla siebie sterem, żeglarzem, okrętem W poprzedniej notce kreśliliśmy geodeyzjne przechodzące przez „centrum” dysku. W niniejszej notce zajmiemy się pękiem geodezyjnych przechodzących przez punkt poza centrum. Pamiętajmy przy tym, że podróż po geodezyjnych jest niebezpieczna. Nazywa się inaczej "swobodnym spadaniem". Przeciwne do swobodnego spadania jest nieswobodne wznoszenie się. Jak przy starcie samolotu. Z filmu poniżej dowiadujemy się, że tak naprawdę nie wiemy czemu samoloty latają. Można włączyć angielskie automatyczne napisy, ale niektóre słowa (na przykład zaczynające się od f...) mogą być w tych napisach ocenzurowane....

W poprzedniej notce rysowaliśmy pęk geodezyjnych przechodzących przez punkt z=0. Wyszły linie proste, promieniście. Dziś wyrysujemy pęk geodezyjnych przechodzących tym razem przez punkt z = 1/2 +i/2. Nic innego nie przyszło mi do głowy. Metoda będzie jednak ogólna, jak to ją opisaliśmy w notce "Różnica między taktyka a strategią". Będę szedł krok za krokiem i opisywał co robię. 

Algbra Liego g grupy G=SU(1,1) to macierze zepolone 2x2, antyhermitowskie względem indefinitnego iloczynu skalarnego.  Wybieramy bazę w przestrzeni tych macierzy. Będę używał kodu Mathematica, Najpierw wprowadzamy macierze Pauliego s1,s2,s3:

s1 = {{0, 1}, {1, 0}}; s2 = {{0, -I}, {I, 0}}; s3 = {{1, 0}, {0, -1}};

Te macierze są hermitowskie względem standardowego dodatnio okreslonego iloczynu skalarnego. Macierze s1,s2, są antyhermitowskie względem indefinitnego iloczynu typu (1,1). Macierz s3 jest względem niego hermitowka, zatem następujące macierze e1,e2,e3 tworzą bazę w algebrze Liego g = Lie(G):

(* Lie algbers su(1,1) *)

e1 = s1; e2 = s2; e3 = I s3;

Budujemy teraz J odpowiadajace punktowi z=1/2+i/2. Formułę na J_z weźmiemy z notki Przejścia fazowe Model zabawka 6. Tam J nazywaliśmy S:

Podstawiając tu nasze z dostajemy Dla urojonego i Mathematica chce I: 

J = {{-3, 2 + 2 I}, {-(2 - 2 I), 3}};

Sprawdzamy czy na pewno J^2=I:

J.J

Out: {{1, 0}, {0, 1}}

Przy danym J algebra Liego g dzieli się na część k komutujacą z J i część p antykomutującą z J.. Chcemy znaleźć ogólną postać elementu X z p. X jest kombinacją liniową wektorów bazowych e1,e2,e3

X = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3;

Chcemy znaleźć ogólną postać a1,a2,a3 by zapewnić XJ+JX=0. Prosimy więc grzecznie nasz program by ją znalazł:

sol = Solve[X.J + J.X == 0, {a1, a2, a3}]

I oto ogólne rozwiązanie:

Out: {a3 -> (2 a1)/3 + (2 a2)/3}}

Czyli a1,a2 mogą być dowolne, zaś a3 ma być równe a3 =  (2 a1)/3 + (2 a2)/3}. Zatem znów prosimy grzecznie nasz program by takie X wziął:

X = X /. sol[[1]]

No i bierze:

Out={{I ((2 a1)/3 + (2 a2)/3), 

  a1 - I a2}, {a1 + I a2, -I ((2 a1)/3 + (2 a2)/3)}}

Teraz już możemy wyliczyć U(t)= exp(tX):

U = FullSimplify[MatrixExp[t*X]]

Wychodzi dość skomplikowana macierz {{A,B},{C,D}}:

 Tą macierzą ruszamy nasz punkt Z: U.Z=(AZ+B)/(CZ+D), by dostać geodezyjną:

z = (1 + I)/2;
Z = FullSimplify[(U[[1, 1]]*z + U[[1, 2]])/(U[[2, 1]]*z + U[[2, 2]])]

Wynik jest dość skomplikowany:

Out: (I Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2]

   Cosh[1/3 Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2] t] + (1 + 

    I) ((2 + I) a1 - (1 + 2 I) a2) Sinh[

   1/3 Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2] t])/((1 + I) Sqrt[

  5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2]

   Cosh[1/3 Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2]

     t] + ((2 + I) a1 - (1 + 2 I) a2) Sinh[

   1/3 Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2] t])

W wyniku mamy dotąd niesprecyzowane parametry a1,a2. Wybieramy je kolejno w kierunlach będących wielokrotnościami Pi/12. Dostaniemy w ten sposób 24 geodezyjne:

geo = ParametricPlot[

  Table[{Re[Z], Im[Z]} /. {a1 -> Cos[i*Pi/12], 

     a2 -> Sin[i*Pi/12]}, {i, 0, 23}], {t, -10, 10}];

No i przedstawiamy graficznie dodając sam okrąg jednostkowy - brzeg otwartego dysku. Geodezyjne tak naprawdę nigdy do niego nie dochodzą, ale to by trzeba było obserwowac pod mikroskopem:

Show[geo, Graphics[Circle[{0, 0}, 1]]]

I oto wynik:

Zauważamy, że te geodezyjne są fragmentami okręgów i przecinają okrąg jednostkowy pod kątem prostym, podobnie jak proste przechodzące przez środek. Ta wlasność wydaje się uniwersalna dla geodezyjnych. Chcielibyśmy zrozumieć skąd się to bierze. O tym w następnej notce. Prawdopodobnie we czwartek.

P.S1. Ja widać jestem niestały. To oznaczam coś przez S, to przez J, to, być może, znowu przez S. Wprowadziłem termin "konektory". Właśnie dowiedziałem się, że te moje konektory są znane w literaturze jak "transwekcje". Więc może przejdę na te transwekcje. Ostrzegałem wczoraj, że będę wymagał rejestracji by zamieszczać komentarze, a dzisiaj, po uwagach Czytelników od tego wymagania odszedłem. A tak w ogóle, to stałości dla stałości nie uważam za cnotę. Może ktoś nieomylny, albo przynajmniej nie popełniający aż tyle błędów co ja,  uważać to za cnotę, ale ja jestem omylny i trwanie w błędzie uważam za głupotę a nie cnotę.

Ciekaw jestem co Czytelnicy o tym myślą - tak z filozoficznego punktu widzenia a także jak sami postępują?

P.S2. Docieka W. Cz. Czytelnik jaki jest tytuł mojego "psychologicznego poradnika". Jednak z tego typu poradnikami jest tak, że każdy musi dobierać sobie taki poradnik samemu (co w dobie Internetu trudnym nie jest). Bo to jest tak jak z alergią. Takie pyłki roślin na przykład. Jednemu pyłek nie szkodzi, nawet go może lubić, inny dostaje od niego silnej reakcji alergicznej. A reakcje alergiczne bywają niebezpieczne. Ja z mojego poradnika wybieram ostrożnie tylko to w miarę uniwersalne, co nie jest na żadnej liście znanych alergenów, co dla nikogo niebezpieczne nie jest. I niech tak zostanie.

P.S3. Postanowiłem wrócić do sfery - znanej nam już dobrze. To też przestrzeń symetryczna. Wrócimy więc do sfery i do macierzy Pauliego. Mamy już wypracowane metody. Znajdziemy geodezyjne i konektory na sferze S^2. O tyle miłej, że jest przestrzenią zwartą, w odróżnieniu od otwartego dysku Poincarego. I, jeśli się nie pomyliłem, używając macierzy Pauliego, konektory tam się daje ładnie jawnie wyrachować. Bedzie nam tam jednak brakowało brzegu. Bowiem brzeg sfery jest zbiorem pustym. Ale nie można mieć wszystkiego na raz. Zgodnie z zasadą komplementarności.