Konektory - wartości własne

The distance between insanity and genius is measured only by success.

~Bruce Feirstein 

Przypomnijmy, że przy danych S,S' z S(V) konektor t(S,S') jest dostanim pierwiatkim kwadratowym z operatora SS'. Prosta i miła definicja.  

Pierwiatek kwadratowy? Cóz prostszego?! A, że także miłego - za chwilę się o tym przekonamy. Macierze S,S' mają wyznaczniki równe -1. Stąd SS' ma wyznacznik 1. I tak samo t(S,S'). Wyznacznik diahonalizowalnej macierzy to iloczyn wartości własnych. Niech λ>0 będzie wartością własną SS'. Wtedy druga wartość włąsna to 1/λ. Wartościami własnymi t(S,S') będą więc √λ i 1/√λ . Wystarczy teraz znaleźć λ.

Oznaczmy przez tr ślad macierzy SS'. Ślad diagonalizowalnej macierzy to suma wartości własnych. Zatem

tr =  λ +1/λ

Proste równanie kwadretowe na λ, możemy z niego wyrazić λ przez tr. Oto wynik:

λ = ½ (tr ∓ √(tr²-4) )

Teraz wystarczy jedynie znaleźć tr(SS'), podstawić do tej ostatniej formuły i mamy wynik. Tyle, że rachunki są nieco żmudne. Nie wiem jak z Tobą, ale gdy mam program komputerowy, który moż żmudną pracę wykonac za mnie, staję się bardzo leniwy. Wole i dzień zużyć na napisanie poprawnego kodu, niż poświęcić go na zapisywanie kartekm papieru i poprawianiu pomyłek.. Punktem wyjścią jest formuła na S wyrażone przez z we wnętrzu dysku:

Do Mathematica wprowadzam więc S i S', wymnażam te macierze, obliczam ślad, wyrażam lambę przez ślad. Otrzymuję  wynik na pierwszy rzut oka przerażający. Drukuję sobie ten wynik na kartce papieru i przyglądam się, jakby go można było ładnie zapisać? Wreszcie zaczyna mi świtać w głowie jak pozbierac razem różne wyrazy. Zgaduję wynik, i wtedy sprawdzam, czy jest tym samym, co ten wypluty świerzo przez komputer. I oto mój wynik ostateczny:

A stąd mamy też wartości własne t(S,S')

Oczywiście sprawdziłem przedtem, że wyarażenie w liczniku jest, dla z i z' we wnętrzu dysku,  zawsze nieujemne! Niedługo zobaczymy jaki jst związek tej formuły z formułą na odległość dwóch punktów dysku w nie-euklidesowej geometrii Łobaczewskiego-Bolyai.

Kolejne zadanie to znalezienie jawnej postaci konektorów. Czeka nas to zadanie.