Oda do wartości własnych II

 Kiedy gąsienica myślała już, że świat się skończył, stała

się motylem.

Cecelia Ahern, Kiedy cię poznałam

W poprzedniej notce opisałem moją motywację. Co motywuję mrówkę do ciężkiej pracy? Czemu chwyta się za zadanie jej możliwości wydawało by się, przekraczające?

Mrówki przenoszą liście czasem na odległość stu metrów. To tak jakby człowiek przenosił w zębach tonę na odległość 25 kilometrów. Mamy dziś taki liść - ro większa z wartości własnych konektora t(S,S'), chwytamy go w zęby i zabieramy się do przenoszenia.

Przypomnijmy formułe z notki Konektory - wartości własne:

Musimy wziąć z tego (ze znakiem "plus" w mianowniku) pierwiatek kwadratowy. Wspominałem poprzednio, że w tym wyrażeniu zakodowana jest "odległość" punktów na dysku w nieeuklidesowej hiperbolicznej geometrii Bolyai-Łobaczewskiego. Ale jak?

Gdy punkt z zbliża się do brzegu, gdy |z| dąży do jedności - dostajemy nieskończoność. A co gdy z'=z?

Czytelnik łatwo sie przekona, że wtedy lambda dązy do jedności. Gdy z=z' odległość winna być równa zero. Od razu przypominamy sobie, że logarytm (naturalny, bo skąd by miał sie wziąć dziesiątkowy) z jedynki to zero. Logarytm z pierwiastka z lambda to połówka logarytmu z lambdy. 

Odważnie stawiamy więc hipotezę, że odległość d(z,z') to połowa logarytmu z lambdy plus.

Hipoteza postawiona. Trzeba teraz ją zweryfikować. Albo sfalsyfikować.

Wyrażenie na lambda jest dość skomplikowane. W dodatku nie widać czemu licznik w którym jest minus miałby być odwrotnością tego samego wyrażenia z plusem? To boli. Estetycznie boli. Na ten ból musimy znaleźć lekarstwo. Na depresję najlepszym lekarstwem jest praca. Tego doświadczyłem na własnej skórze wczoraj.

Zajrzyjmy do Wikipedii. Znajdujemy tam:

Interesuje nas to ostatnie wyrażenie - na odłegłość. Mamy tam arctanh, a nie logarytm jak w naszej hipotezie. Nie traćmy jednak nadziei.

" ... nie tylko inwestorzy zarabiają więcej niż przedsiębiorcy, ale też wydawcy zarabiają więcej niż pisarze, marszandzi zarabiają więcej niż artyści, a nauka zarabia więcej niż naukowcy (około 50 proc. artykułów naukowych, pisanych miesiącami albo latami, nie zostanie nigdy faktycznie przeczytanych). Człowiek, który podejmuje takie ryzyko, otrzymuje wynagrodzenie w innej walucie niż sukces materialny – tą walutą jest nadzieja."

Nassim Nicholas Taleb, "czarny łabędź", KURHAUS, Warszawa 2014

Czy jest związek między arctanh a log?

tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) = (exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x))

Licznik i mianownik prawej strony mnożymy przez exp(x):

tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) = (exp(2x)-1)/(exp(2x)+1)

Oznaczmy 

tanh(x)=y. 

Zatem x=arctanh(y)

Wtedy y= (exp(2x)-1)/(exp(2x)+1). Lub

(exp(2x)+1)y=(exp(2x)-1)

Stąd łatwo znajdujemy:

exp(2x) = (1+y)/(1-y)

Bierzemy logarytm (naturalny) log z obu stron

2x = log((1+y)/(1-y))

I już mamy

2 arctanh(y) = log((1+y)/(1-y))

Bierzemy zatem wyrażenie na rho z Wikipedii i przekształcamy argument y w arctanh. Obliczamy  (1+y)/(1-y) mając nadzieję, że otrzymamy nasze osobiste wyrażenie na d - potwierdzenie (a jak nie wyjdzie, to obalenie) naszej odważnej hipotezy.

Moja hipoteza została i potwierdzona i sfalsyfikowana. Odległość to nie połowa z logarytmu, a po prostu logarytm. 

Oczywiście połowa też byłaby dobra - bowiem połowa odległości jest też odległością (spełnia aksjomaty metryki w przestrzeni metrycznej). Jeśli jednak ma to być zgodne ze standardową  odległością w przestrzeni Riemanna - nie ma rady - trzeba będzie wziąć cały logarytm. Chyba, że się gdzieś w moich rachunkach pomyliłem, co mi się dość często zdarza. Ideę mam dobrą, ale wykonanie szwankuje. trzeba mi patrzeć na ręce.

Możemy teraz zabawić się w narrację. Fakty łtrudniej zapamiętać, narrację łatwiej (patrz "Czarny łabędź"):

Odległość to podwojony logarytm z promienia spektralnego konektora.

"In mathematics, the spectral radius of a square matrix is the maximum of the absolute values of its eigenvalues."

Chyba, że się w powyższych rachunkach pomyliłem i "podwojony" można opuścić. Sprawdzimy to w kolejnej notce na konkretnym prostym przykładzie.