Niech G będzie niepustym zbiorem. Działanie w G to funkcja z GxG w G. Zbiór G nazywa się grupą, gdy jest wyposazony w działanie, zapisywane jako (g,h) → gh i posiadające następujące własności:
1. Łaczność
(fg)h = f(gh) dla każdych f,g,h z G
2. Jedność. Istnieje w G element e taki, że
eg = ge = g dla każdego g z G
3. Odwrotność. Dla każdego g z G istnieje h z G taki, że gh = hg = e. Dla danego g taki element h jest jedyny (udowodnij to), zapisujemy go jako g-1.
Teraz łatwo możemy sprawdzić czy opanowaliśmy definicję: udowodnij, że jeśli G jest grupą, to 1) e ma własność ee=e, oraz 2) e jest jedynym elementem w G o własności gg=g.
Teraz przykład grupy.
Weźmy miły sześcian. Jakiś taki:
Symetrią sześcianu będziemy nazywać sztywną transformację sześcianu w siebie (żadnych odbić). Symetri tworzą grupę. Mnożeniem w tej grupie jest składanie transformacji. Ile elementów ma grupa takich symetrii sześcianu?
By odpowiedziec na to pytanie namalujmy długie przekątne:
Jest ich cztery. Możemy je sobie ponumerować. Każda symetria będzie jakoś przestawiać (permutować) te numerki. Uruchamiając wyobraźnię możemy się przekonać, że dla każdej takiej permutacji znajdziemy symetrię sześcianu te permutację dokonującą. Zatem grupa symetrii sześcianu (bez odbić) ma 4!=24 elementy - bo tyle różnych permutacji można dokonac na liczbach 1,2,3,4.
Ogólniej: permutacje w (1,2,...,n) tworzą grupę n! - elementową. Nazywamy ja grupą symetryczną Sn.
Twierdzenie Cayleya mówi: Każda grupa skończona jest izimorficzna z podgrupą pewnej Sn.
Arthur Cayley
Życiorys
W roku 1838 rozpoczął studia w Trinity College na Uniwersytecie Cambridge. Od 1863 profesor uniwersytetu w Cambridge, członek Towarzystwa Królewskiego w Londynie i Akademii Nauk w Petersburgu.
Matematyk
Zajmował się geometrią algebraiczną. Prowadził badania nad równaniami różniczkowymi i funkcjami eliptycznymi. Współtwórca teorii wyznaczników. Autor wielu pojęć z algebry liniowej (zobacz np. oktawy Cayleya). Autor pierwszej aksjomatycznej definicji grupy oraz twierdzenia Cayleya.
A oto graf Cayleya grupy permutacji czterech elementów:
.svg.png)
Jak takie grafy się robi? Tego się z biegiem czasu nauczymy
Pożalił się na starym blogu Tichy:
ReplyDelete" Symetrią sześcianu będziemy nazywać sztywną transformację sześcianu w siebie (żadnych odbić)."
Raczej karkołomna definicja, i od razu sprzeczność, potem wykluczana. Nieelegancko.
No tak, nie zdefiniowałem "sztywności". A miałem na myśli "sztywny obrót". Beż użycia lustra. No i sztywnego obrotu też nie zdefiniowałem. Biję się w piersi. Faktycznie nieelegancko.
Zaczynając ilustrowanie pojęcia grupy od obrotów szceścianu - to jak wsiadanie do tramwaju, który już jedzie (tzn., tramwaju starego typu, co jadąc miał drzwi otwarte).
DeleteZaczynając od najprostszej, te nie prosto Dwa punkty geometryczne, i jesttylko symetria, a i woszem obró tż ale trzbea 2D. Takoż i 4 wierzchołki kwadratu na płszczyżnie - obrót w 3D załatwia odbicie, etc.
Na pozionie intuicyjnym, w 3D, obrotu nie trzeba specjalnie definiować, a tm bardziej "sztywnego". Spróbuj zdefiniować nie zaciemniając dla audiencji niewyrobionej w algebrze liniowej...
Dopiero "obrót niesztywny" trzeba by zdefiniować.
Wszystko co piszesz to prawda. Jednak ja do jadącego trmwaju wskakiwałem setki raz (i tyleż razy wyskakiwałem, w pełnym biegu). Kilka razy się nieźle przy tym obiłem, ale technika jest niespecjalnie trudna do opanowania.
DeleteJuż w następnej notce z tego cyklu porzucę na trochę grupy, by zająć się grafami. Moim celem jest raczej zainteresowanie Czytelnika, a nie nauczanie. Fakt, że w głowie mam bałgan. Co jest jednoczesnie przekleństwem jak i błogosławieństwem Ludzi z OCD rozumiem, ale sam w szufladach mam chaos i tylko mętne idee o tym co w której jest.
A dla komentujących Czytelników uwaga: na próbę uruchomiłem możliwość komentowania anonimowego. Z tym, że zawsze dobrze się jakoś pod takim komentarzem podpisać, by dyskusja była bardziej osobista.
ReplyDelete