Geodezyjne na dysku Poincarégo II - pola Killinga c.d.

 Co to są te pola Killinga?

W przestrzeni z metryką Riemanna pola Killinga to pola wektorów stycznych do orbit jednoparamatrowych podgrup grupy izometrii.

Brzmi to nieco abstrakcyjnie, ale przerobimy to na przykładzie dysku Poincarego.

Mamy tu metrykę Riemanna. Wyprowadziliśmy ją w notce  Metryka Riemanna na dysku Poincarego:

Zapiszmy tę metrykę w postaci macierzowej:

Metryka ta jest "konforemnie płaska" - to metryka euklidesowa z czynnikiem skalarnym przed macierzą jednostkową. Wynika z tego jeden bardzo ważny dla nas wniosek. Opiszemy teraz ten ważny wniosek. 

Metryka definiuje geometrię przestrzeni. Zadanie metryki to nic innego niż zdefiniowanie iloczynu skalarnego w każdej przestrzeni stycznej. Jeśli u,v są wektormi stycznymi w punkcie o współrzędnych x,y, to iloczyn skalarny tych wektorów w geometrii Riemanna dany jest fomułą;

(u,v)  = u∙gv

gdzie kropka oznacz zwykły euklidesowy iloczyn skalarny. Zatem w naszym przypadku

(u,v) = 4 u∙v/mian

gdzie 

mian = (1-x^2-y^2)^2

Jeśli u,v są wektorami jednostkowymi, tzn. jeśli (u,u) = (v,v) =1 to kąt α pomiędzy tymi wektorami jest definiowany formułą:

cos α = (u,v)

W naszym przypadku

cos α = 4 u∙v/mian

W metryce euklidesowej byłoby

cos α =  u∙v

Widać, że kąty są na ogół inne niż te euklidesowe. Jednak gdy u∙v = 0, tzn. gdy wektory są euklidesowo prostopadłe, to również (u,v)= 0 - zatem są również prostopadłe w metryce dysku Poincarego. I na odwrót, kąty prostopadłe w metryce dysku sa prostopadłe euklidesowo. Z tego faktu skorzystamy

Przechodzimy teraz do grupy izometrii.  Wiemy już z poprzednich notek, że macierze z grupy SU(1,1) są izometrimi - zachowują iloczyny skalarne. Przypomnijmy:

Jest w tej grupie szczegolna podgrupa H macierzy diagonalnych, gdy μ = 0. Jest to stabilizator centrum dysku (patrz Dysk jako prze (dlaczego?)trzeń jenorodna I). Gdy μ = 0 to musi być |λ| = 1 (dlaczego?). Zatem macierze z H maja postać (dlaczego?)

U(t) = diag( exp(it),exp(-it) )

Z własności eksponencjału mamy U(0)=I, U(t)U(s) = U(t+s), zatem U(t) jest jednoparametrową podgrupą grupy SU(1,1). Jak ta podgrupa działa na dysk? Znajdźmy jawną postać tego działania. W tym celu skorzystajmy z notki Dysk jako przestrzeń jednorodna II. Grupa SU(1,1) działa a dysk przez przekszałcenia ułamkowo-liniowe:

 

z1 = (λ* z + μ*)/(μ z + λ)

W naszym przypadku μ = 0, λ = exp(it). Stad U(t) transformuje z w z(t):

z(t) = exp(-2it) z               (*)

Zapisując z(t) jako z(t) = x(t) + i y(t) z formuły (*) dostajemy (jak?)

x(t) = x cos (2t) - y sin(2t)

y(t) = x sin(2t) + y cos(2t)

Orbitami podgrupy H są więc okręgi o środku w punkcie x=y=0. Pole Killinga to pole wektorów stycznych do tych okręgów. Możemy obliczyć składowe wektorów stycznych:

dx(t)/dt = -2x sin(2t) - 2y cos(2t) = - 2 y(t)

dy(t)/dt = 2x cos(2t) - 2y sin(2t) = 2 x(t)

(skąd to wziąłem?)

Zatem wektor styczny do trajektorii w punkcie x,y ma składowe -2y,2x. Możemy sobie to pole wektorowe namalować. Pozostawiam to zadanie Czytelnikowi.

Możemy teraz wrócić do geodezyjnych i do faktu wspomnianego w poprzedniej notce:

Each Killing vector corresponds to a quantity which is conserved along geodesics. This conserved quantity is the metric product between the Killing vector and the geodesic tangent vector. 

Zatem geodezyjne muszą przecinać nasze okręgi pod stałym kątem  (w metryce Riemanna). Nasze okręgi przecinają oś x pod katem prostym w metryce euklidesowej. Ale to oznacza, że przecinają oś x pod katem prostym także w metryce Riemanna dysku. Zatem geodezyjną łączącą  punnkt z=0 z dowolnym punktem x na osi rzeczywistej musi być po prosu odcinek [0,x]. Żadna inna krzywa łącząca dwa punkty na osi x nie przecinałaby naszych okregów pod katem prostym. (czy jest to oczywiste?)

A przy okazji, ponieważ obroty o dany kąt należą do H, widzimy, że geodezyjnymi przechodzącymi przez z=0 sa po prostu odcinki proste łączące lączące z=0 z danym punktem. Bowiem izometrie transformują geodezyjne w geodezyjne.

I teraz wskazówka do Problemu z poprzedniej notki: trzeba użyć dwóch elementów układanki:

1) Fakt, że działanie SU(1,1) na dysk jest tranzytywne: dla dowolnych z,z' na dysku istnieje element grupy SU(1,1) przeprowadzający z' w z. Nawet możemy podać konkretny element, mianowicie: t(S,S')

2) formuła (*) z tej notki