Dysk jako przetrzeń jednorodna I

Zaznaczam z góry, że aktualnie odchodzimy od głównego celu tej serii, którym jest model przejść fazowych. Po prostu mamy nowe auto i uczymy się je obsługiwać przed udaniem się w dłuższą drogę. Grupa SU(1,1) - to nasz przyjaciel, a z przyjacielem... 

Odtąd będziemy nasz dysk, lub naszą S(V), oznaczać symbolem D₁. Skąd D? Z dwóch powodów. Ponieważ "dysk" i ponieważ "dziedzina" (ang. domain). Dziedzina a nie dziecina, choć to teraz dla nas także dziecina. 

Przypomnijmy, że 

SU(1,1) = {U ∈ Mat₂(C): UJU^* = J},

gdzie Mat₂(C) jest algebrą wszystkich zespolonych macierzy 2x2. Innymi slowy: SU(1,1) to Specjalna (o wyznaczniku 1) Unitarna (wzgledem <,>) grupa macierzy dla iloczynu skalarnego o sygnaturze (1,1) (jeden plus, jeden minus).

Zatem opiszemy teraz D₁  jako szczególną przestrzeń jednorodną. Wiemy już, że grupa SU(1,1) działa tranzytywnie na D₁: jeśli U ∈ SU(1,1), to znaczy, jeśli <Uu,Uv>=<u,v>, i jeśli S ∈ S(V), wtedy 

 USU*  ∈ S(V)

Weźmy centrum dysku, tzn. z=0. Odpowiada mu S_o, gdzie S_o jest macierzą mającą na przekątnej 1,-1 i zera poza nią - macierz  σ₃ Pauliego.

Naszym zadaniem jest znalezienie stabilizatory punktu . Szukamy więc wszystkich macierzy U z SU(1,1) takich, że US_oU*= S_o, lub, co na jedno wychodzi, takich, że US_o =  S_oU.

Najpierw znajdźmy ogólną postać macierzy U z SU(1,1).... Tu postanowiłem znaleźć wyprowadzenie tej postaci w Internecie - znalazłem. Sam to kiedyś nawet łądnie zrobiłem - więc polecam jako dodatkowa lekturę: 

SU(1,1) parametrization

Znajdujemy tam:

Czytelnik łatwo sie teraz przekona, że warunek US_o =  S_oU jest równoważny warunkowi  μ=0. Zatem

|λ|=1. Liczby zespolone o module 1 tworzą grupę U(1). W macierzy U (na obrazku A) mamy parę takich liczb zespolonych - na przekątnej. Przy czym ich iloczyn ma byc jedynką. Gdupętakich macierzy oznacza się symbolem S(U(1)xU(1)).

I tak znaleźliśmy podgrupę, nazwijmy ją H, grupy SU(1,1) - stabilizator punktu z=0.

W następnej notce,  Dysk jako przetrzeń jednorodna II, zobaczymy, że mamy naturalny izomorfizm pomiędzy zbiorem klas równoważności  w grupie G=SU(1,1) (ten ziór klas równoważności oznacza się przez G/H) a punktami dziedziny D_1:

U(1,1)/S(U(1)xU(1))  ≈  D_1.

To jest model zabawka. Powazniejszy model to byłby

U(2,2)/S(U(2)xU(2))  ≈  D_4.

W tym poważnieszym modelu byłoby rozmaitością zespolojną czterowymiarową (rzeczywistą 8-wymiarową), zaś zamiast brzegu okręgu, mielibyśmy tzw. brzeg Shilova - uzwarconą konforemnie przestrzeń Minkowskiego.

.