Czasoprzestrzeń, przestrzeń, a w niej sfera

 Idziemy krok za krokiem, Powoli ale niestrudzenie. Nie oglądamy się za siebie, a nawet jeśli się oglądamy, to jedynie po to by sprawdzić odchylenia od zamierzonego kierunku. A kierunkiem tym jest rozwiązywanie zagadek, uczenie się, poszerzanie wiedzy. Bo wiedza chroni, ignorancja to nasz wróg. To nasza główna wytyczna. Życie jest lekcją.

Zacznę od kolejnego fragmentu z mojego poradnika:

Nie ograniczaj swojego potencjału z powodu swoich przekonań lub ograniczeń innych.  Weź odpowiedzialność za swoje własne życie... i ciężko pracuj każdego dnia, aby osiągnąć sukces i spełnienie w tym, co zdecydujesz się zrobić z nim!

Nigdy nie oczekuj, że inni zrobią dla Ciebie rzeczy, których sami nie chcą zrobić. Nigdy nie bądź zbyt zajęty lub zbyt zmęczony, by kochać siebie... lub by kochać i dbać o tych, którzy są ci najbliżsi.

Nie oczekuj zbyt wiele od innych... i nie oczekuj, że będą dawać więcej niż mogą. Nie żyj tak, jakbyś był uprawniony lub uprawniony do czegoś, to wszystko zależy od ciebie. Żyj tak, jakby twoje największe dary zostały już dane. Jeśli inni ludzie nie mogą dać ci tego, czego chcesz.... zrób coś z tym sam!

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

Zaczniemy od macierzy Pauliego. Nie chciało mi się ich wypisywać, więc pożyczyłem sobie poniższy obrazek z prezentacji algebry liniowej tutaj:

Będę używał literek s zamiast sigma, bo nie mam na klawiaturze sigmy. Zatem moje macierze, to będą s0,s1,s2,s3. Tak naprawdę macierzami Pauliego nazywa się jedynie trzy macierze s1,s2,s3. Wygodnie jednak dodać do repertuaru macierz jednostkową i nazwać ją s0.

Z jakiegoś powodu na tym obrazku powyżej figurują X,Y,Z. Zapomnijmy o tym, bowiem tylko by nas to dalej myliło.

Wszystkie cztery macierze są hermitowskie. W samej rzeczy tworzą bazę w czterowymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej macierzy hermitowskich. 

Czasoprzetrzeń ma też cztery wymiary. By cztery współrzędne miały ten sam wymiar fizyczny wprowadzamy x0=ct, x1=x, x2=y, x3=z. I wtedy aż się prosi by utworzyć macierz

X = x0 s0 + x1 s1 + x2 s2 + x3 s3

Zauważamy wtedy, że

det X = c^2 t^2 -x^2 -y^2 - z^2

a to jest "długość" czterowektora (x0,x1,x2,x3) - interwał czasoprzestrzenny pomiędzy początkiem układu współrzędnych a punktem/zdarzeniem  (x0,x1,x2,x3) - w geometrii Minkowskiego.

Zauważamy też, że połowa śladu macierzy X to "czas" x0=ct w którym zaszło zdarzenie  (x0,x1,x2,x3) ( w wybranym inercjalnym układzie współrzędnych, bo do takiego wszystko odnosimy).

Zatem X o śladzie zero odpowiadają zdarzeniom jednoczesnym ze zdarzeniem (0,0,0,0). To trójwymiarowa przestrzeń w chwili t=0. .

Symetrie, te z poprzedniej notki, to macierze hermitowskie, o śladzie zero i kwadracie jeden. Skoro hermitowskie i o śladzie zero, to są rzeczywsitymi kombinacjami liniowymi trzech macierzy Pauliego s1,s2,s3. Wprowadźmy zatem oznaczenie

s(n) = n1 s1 + n2 s2 + n3 s3

gdzie n jest wektorem w R^3, n=(n1,n2,n3).

Łatwo wtedy wyliczyć, że s(n) s(n) = n^2 I

gdzie n^2 = n1^2+n2^2+n3^2 jest kwadratem długości wektora n.

Zatem każda symetria J jest postaci s(n) dla pewnego (jedynego) wektora jednostkowego n - punktu na sferze jednostkowej. 

I tak rozwiązaliśmy zadanie z poprzedniej notki.

W kolejnej notce (zapewne w poniedziałek) rozważymy tę sferę jako przestrzeń jednorodną dla grupy SU(2) i SO(3). Potem wprowadzimy niezmienniczą metrykę Riemanna i  zajmiemy się  geodezyjnymi dla tej metryki.

 

Do poniedzialku zatem

 

I na zakończenie ostatni fragment z "poradnika":

Jesteś już kompletny i wystarczająco kompletny, więc przestań oczekiwać doskonałości w każdym momencie swojego życia.  Uświadom sobie, że wszystko pasuje do siebie idealnie, ponieważ ten aspekt wszechświata... i Twoja część w nim nigdy nie może być doskonała. Pojawiaj się każdego dnia właśnie w taki sposób w jaki jesteś jesteś, a będziesz zaskoczony tym, jak wspaniały już jesteś.

Porzuć iluzję punktu widzenia, że wszystko musi się zmieścić do pudełek, aby móc się z tym połączyć lub odnieść. Kiedy etykietujemy rzeczy dobre lub złe, piękne lub brzydkie, ważne lub nieważne... zdradzamy siebie (give ourselves away)  ... i musimy to natychmiast przerwać!  Rzeczy nie mają żadnej "wartości" poza naszym postrzeganiem ich.... nasza własna indywidualną wersją "rzeczywistości". A to jest po prostu mit.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

I to by było na tyle.

 

Odtąd będę mój blog kontynuował w prostym języku angielskim.

P.S. Usunąłem z notki piosenkę. Spodobała mi się w czasie gimnastyki, więc ją wstawiłem, ale, jak mi słusznie na to zwrócił uwagę Czytelnik,  zaburza treść i odwraca uwagę. W przyszłości będę wyłącznie rzeczowy i będę takich odwracających uwagę wstawek unikał.