Symetrie w dwuwymiarowej przestrzeni zespolonej

 Punktem wyjścia jest najprostsza nietrywialna przestrzeń Hilberta: C². W mechanice kwantowej używana jest zwykle do opisu czystego spinu 1/2 - jak to ma elektron czy proton. Wektorami tej przestrzeni sa pary liczb zesponych (u1,u2), zapisywane zwyle jako kolumienki.

Mamy tam naturalny hermitowski iloczyn skalarny. Jeśli ξ = (u1,u2), ξ'=(u1',u2') to

(ξ,ξ') = u1* u1' + u2* u2' 

gdzie * oznacza sprzężenie zespolone. Zatem jeśli z=a+ib, gdzie a,b rzeczywiste, to z*=a-ib.

Będą nas interesować macierze zespolone 2x2. Dla takich macierzy A mamy definicje sprzężenia hermitoskiego A*, gdzie A* jest macierzą zespolenie sprzężoną i transponowaną do A. Mamy wtedy

(ξ,  Aξ') = (A* ξ, ξ') .

Macierze takie, że A=A* nazywamy hermitowskimi.

Definicja: Symetriami będziemy nazywać macierze J które mają następujące włąsności:

1) J=J*

2) J² = I (I to macierz jednostkowa)

3) Tr(J) = 0

Ad 1) Czyli J ma  być macierzą hermitowską. Każda taka macierz ma dwie rzecwywiste wartości własne.

Ad 2). Zatem wartości własne mogą być +1 lub -1

Ad 3) Ślad macierzy hermitowskiej to suma jej wartości własnych. Skoro ślad ma być zerem, to jedna wartość własna musi być +1, druga -1. Wykluczamy tym samym przypadki gdy obie wartości własne są +1 (wtedy J=I), lub gdy obie są -1 (wtedy J=-I).

W następnej notce znajdziemy, posługując się macierzami Pauliego, najogólniejszą postać symetrii. Zobaczymy, że mamy 1-1 odpowiedniość pomiędzy symetriami a punktami dwuwymiarowej sfery (dobre zadanko dla licealisty).

I kolejny fragment z mojego tajemniczego "poradnika". Podobają mi sie te zalecenia, dlatego je tu przedstawiam:

Pamiętaj, aby każdego dnia poświęcić trochę czasu na cichą medytację, modlitwę lub inną osobistą refleksję.  Praktykuj pozytywne afirmacje regularnie... w myślach, w sercu i na głos, kiedy to tylko możliwe.

Będziesz potrzebował tych pozytywnych afirmacji, aby pomóc sobie rozwinąć zdrowe poczucie miłości i współczucia wobec siebie i wobec innych.

Bądź otwarty na nowe możliwości, które się pojawiają... i ciesz się nimi. Nie zniechęcaj, nie krytykuj ani nie potępiaj siebie za błędy, które możesz popełniać po drodze.  Pozwól sobie uczyć się na tych błędach, i postrzegaj swoje doświadczenie jako ważną "lekcję", która pomoże ci rozwinąć bardziej kochającą, współczującą i dającą postawę wobec siebie i innych w przyszłości.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)