The problem from the previous note "Imagine Infinity - A Challenge":
We are in 4D, coordinates X,Y,Z,W. The infinity is given by the intersection of these two cylinders:
1) X2 + Y2 + Z2 = 1
2) Z2 + W2 = 1
Let us simplify. Skip Y. This corresponds to spacetime being only 1+1 dimensional. So we have
1) X2 + Z2 = 1
2) Z2 + W2 = 1
This is a curve in 3D. Let us plot it. This is an intersection of two cylindrical surfaces, perpendicular to each other. We ask Mathematica to plot it:
h = x^2 + z^2 - 1;
g = z^2 + w^2 - 1;
ContourPlot3D[{h == 0, g == 0}, {x, -1, 1}, {z, -1, 1}, {w, -1, 1},
MeshFunctions -> {Function[{x, z, w}, h - g]},
MeshStyle -> {Thickness[0.05], Red}, Mesh -> {{0}},
ContourStyle ->
Directive[Blue, Opacity[0.1], Specularity[White, 30]],
PlotPoints -> 60, SphericalRegion -> True]
Here is the result:
"Seems to be correct, but I am not happy with skipping one (and, in fact, two) space dimension(s).".
ReplyDeleteTake a look here:
https://en.wikipedia.org/wiki/Villarceau_circles
"This is a curve in 3D. Let us plot it. This is an intersection of two cylinders, perpendicular to each other.".
ReplyDeleteBut why do these toruses have to be perpendicular?
h = x^2 + z^2 - 1;
ReplyDeleteg = z^2 + w^2 - 1;
ContourPlot3D[{h == 0, g == 0}, {x, -1, 1}, {z, -1, 1}, {w, -1, 1},
MeshFunctions -> {Function[{x, z, w}, h - g]},
MeshStyle -> {Thickness[0.1], Yellow}, Mesh -> {{0}},
ContourStyle ->
Directive[Blue, Opacity[0.5], Specularity[White, 30]],
PlotPoints -> 60, SphericalRegion -> True]
ParametricPlot3D[{(3 + Cos[z]) Cos[x], (3 + Cos[z]) Sin[x],
Sin[z]}, {x, 0, 2 Pi}, {z, 0, 2 Pi}, Mesh -> {{0}}]
I am trying to cut the above torus. I don't know at the moment how to do this in Mathematica.
M: "Cylinders" istead of "toruses".
ReplyDeleteBjab -> Ark
ReplyDeleteCo prawda nie wiem o czym są Twoje notki, dlaczego suma kwadratów współrzędnych ma być równa jeden, która współrzędna ma być czasową w tej Twojej "1 + 1 spacetime",
to jednak
nie dam sobie wcisnąć, że te dwie czerwone krzywe na powyższym rysunku są okręgami.
Thank you for your comment. I have no choice - will have to explain the genealogy of the problem. Will do it tomorrow morning.
DeleteAre they real circles? Another good question.
Bjab - Ark
DeleteWyraźnie widać, że to są elipsy.
Wyraźnie widać, że to są elipsy.
Delete@Bjab
ReplyDelete"Co prawda nie wiem o czym są Twoje notki, dlaczego suma kwadratów współrzędnych ma być równa jeden, która współrzędna ma być czasową w tej Twojej "1 + 1 spacetime",".
A zatem, zdaje mi się, że suma współrzędnych ma być 1, gdyż to są powierzchnie walcowe (cylindryczne).
Walec (cylinder) opiszesz tak:
x^2 + y^2 <= r^2
0 <= z <= h,
gdzie h jest wysokością tego walca, a r jest jego promieniem, przy czym x,y,z to współrzędne przestrzenne, a z (albo dowolna inna współrzędna przestrzenna, zależnie jak wybierzesz) musi zawierać się pomiędzy 0 a wysokością walca.
Tu jednak mamy walec bez wnętrza, stąd <= zamieniamy na =.
Współrzędną czasową zaś zdaje mi się tutaj być W.
Tu mamy dwie powierzchnie cylindryczne prostopadłe do siebie, są dobrze widoczne na pierwszym rysunku.
@Bjab
ReplyDelete"Wyraźnie widać, że to są elipsy.".
Tak, ale wyobraź sobie, że masz np. okrąg dany wzorem: x^2 + y^2 = 1.
I masz elipsę x^2/4 + y^2 = 1.
Teraz zauważ, że przekształcenie (x, y) -> (x/2, y) to przekształcenie ciągłe (homomorfizm), a zatem z perspektywy topologicznej możesz przekształcić okrąg w elipsę bez rozrywania go.
Bjab -> Mathilde S.
Deletehomeo
@Bjab
DeleteTak, fakt. Homomorfizm dotyczy algebry, a homeomorfizm to izomorfizm struktur topologicznych. Masz rację.
This comment has been removed by the author.
ReplyDeleteThis comment has been removed by the author.
ReplyDelete"Z^2 + W^2 = 1".
ReplyDeleteThis is not a cylinder. It is a cylindrical surface. A cylinder would be if:
"Z^2 + W^2 <= 1".
h = x^2 + z^2 - 1;
ReplyDeleteg = z^2 + w^2 - 1;
ContourPlot3D[{h == 0, g == 0}, {x, -Pi, Pi}, {z, -Pi, Pi}, {w, -Pi,
Pi}, MeshFunctions -> {Function[{x, z, w}, h - g]},
MeshStyle -> {Thickness[0.1], Yellow}, Mesh -> {{0}},
ContourStyle ->
Directive[Blue, Opacity[0.5], Specularity[White, 30]],
PlotPoints -> 60, SphericalRegion -> True]
With this code in my opinion you can best see what it is.
I tried my seeing spheres by squishing the time-like W on this 1-dim less version and I do get actual circles which makes sense since the ellipse kind of comes from expanding into an extra dimension. Course I was "seeing" a torus instead of an ellipsoid and each of my two spheres would really come from halves of two ellipsoids instead of from one ellipsoid each. It's so hard to visualize connections in 4D; I remember that from trying to visualize 4-dim root vector polytopes.
ReplyDeleteGiven that spacetime is always one less dimension for this exercise, I'm guessing this might relate to the Shilov boundary of a 5-dim hyperball or to a Cartesian product via the Shilov boundaries of a time disk and a space 4-dim hyperball? (not that I have any idea how Shilov boundaries relate to conformal infinity)