If you are not willing to risk the usual, you will have to settle for the ordinary.
~Jim Rohn
Zweryfikujemy teraz poprawioną (pierwotna została sfalsyfikowana, następnie porawiona) hipotezę z poprzedniej notki na prostym przykładzie. Jeden przykład wystarczy by upewnić się co do podejrzanego współczynnika 1/2 (lu 2, jesli ktoś woli).
Wybierzemy w tym celu dwa punkty na płaszczyźnie zespolonej: początek układu współrzędnych, zatem z=0, oraz punkt na osi rzeczywistej z'=x+i0, gdzie 0<x<1. Musimy te dwa punkty połączyć "geodezyjną" O geodezyjnych jeszcze nie rozmawialismy, ale nikogo raczej nie zdziwi fakt, że geodezyjną łączącą te dwa punkty jest po prostu odcinek je łączący. Bo cóż innego mogłoby nią być. Zatem równania geodezyjnej to
x(t)=t
y(t)= 0
Przy tym t zmienia się od 0 do x.
przypomnijmy formułę na metrykę Riemanna z notki
Metryka Riemanna na dysku Poincarego
W naszym przypadku dx=dt, dy=0
Stąd
ds = 2/(1-t^2) dt
Musimy to wycałkować po t od zera do x. Znajdujemy naszą całkę jako ostatnią w tej tablicy:
dla
Kładziemy a=1 i, uwzględniając współczynnik 4, otrzymujemy
d(0,x) = ∫ds =log( (1+x)/(1-x) )
Mathematica daje nam odpowiedź w formie, którż już znamy:
A teraz obliczamy d metodą z poprzedniej notki. Przypomnijmy ogólna postać macierzy S:
Dla z=0 jest macierz J, (+1,-1) na przekątnej, zera poza nia. Dla z=x+0i, x>0 jest to macierz, zapisując w formacie Mathematica:
Sz = {{1+x^2, -2x},{2x,-(1+x^2)}}/(1-x^2)
Iloczyn S0 S to
{{1+x^2, -2x},{-2x,(1+x^2)}}/(1-x^2)
Możemy wartości własne liczyć ręcznie lub użyć programu. Uzyłem programu. Oto wynik
(1+x)^2/(1-x^2)
Upraszczając dostajemy (1+x)/(1-x). Bierzemy logarytm (naturaln i dostajemy naszą całkę.
Hipotezę zweryfikowaliśmy. Oczywiście wypadałoby udowodnić, że nasza formuła z poprzedniej notki zachodzi też dla dowolnych punktów wewnątrz dysku. Jednak w tej chwili byłoby to za dużo szczęścina raz. Z "czarnego łabędzia dowiadujemy się bowiem, że jestesmy tak skonstruowani, że lepsze
dla nas małe szczęście ale często niż wielkie szczęście ale tylko co jakiś długi czas.
Zapytał mnie prywatnie jeden z Czytelników jak interpretuję ten cytat:
ReplyDelete"If you are not willing to risk the usual, you will have to settle for the ordinary."
Cóz jest on w stylu "Normalni normalnie umierają" - jak to mawiał ks. prof. Włodzimierz Sedlak. Podobnie pisze autor "Czarnego łabędzia" odróżniając Przeiętnostan od Ekstrremistanu.
Nie nalezy się bać ryzyka, należy je agresywnie podejmować, ale też nie należy się wygłupiać przesadnie. Że zacytuję z Czarnego łabędzia raz jeszcze:
CZARNY ŁABĘDŹ 94
"Przez ostatnich dwadzieścia lat wielu przeciętniaków zadawało mi głupie pytanie: „Hej, Taleb, skoro jesteś tak świadomy wszechobecnego ryzyka, to jak masz odwagę przejść przez jezdnię?” albo podsumowywało moje poglądy jeszcze głupszym wnioskiem: „Mówisz, żebyśmy nie podejmowali żadnego ryzyka”. Oczywiście nie lansuję całkowitej ryzykofobii (dalej okaże się, że wolę agresywny sposób podejmowania ryzyka: w tej książce pokażę wam tylko, jak uniknąć przechodzenia przez ulicę z zasłoniętymi oczami. "