Metryka indefinitna zabawka - na olejno

 Obiecałem sporządzenie syntetycznego obrazu krajobrazu – tego który tu ołówkiem i pędzlem maluję. Mam mniej więcej w głowie ideę tego co chce namalować, ale ta się zmienia w trakcie dodawania detali. Myślałem, że zrobię to jeszcze wczoraj, ale jakoś nie wyszło. Wczoraj i dziś wypadły mi rozjazdy. 

Toulouse, France

Tak czasem, szczęśliwie rzadko, wypada. Więc tę syntezę zacznę dzisiaj. Nie wiem czy mi się uda dziś skończyć, ale spróbuję. Jest 17:40, przed chwilą wróciłem, robię sobie herbatke i zaczynam malować, najpierw szkic ołówkiem, potem olejną. 

Obrazy olejne zdają się być bardziej cenione niż akwarele.

Płótnem jest zespolona przetrzeń wektorowa V=C² – przestrzeń zespolona, zbiór par (z,z') liczb zespolonych. Mógłbym wziąć płótno większe, powiedzmy C²ⁿ, n=2 lub n=4, lub wręcz dowolne n. Wiele szczegółów dałoby się z łatwością przeskalować na to większe płótno. Ale zacznijmy od małego. Wszak ma to być model-zabawka. 

Już w tej zabawce, jak zobaczymy,  kryje się nieskończona głębia. Trzeba tylko chcieć ją odkryć. Wtedy odkrywaniu nie będzie końca. To tak jak z fraktalem Mandelbrota: taki prosty algorytm, a tyle niespodzianek!

Wektory w V trzeba sobie wyobrażać jako wektory kolumienki. Zatem jeśli piszę u=(u1,u2), gdzie u1 i u2 są składowymi wektora u, to nalezy sobie wyobrażać kolumienkę, gdzie u2 stoi pod u1. Sprzężenie liczb zespolonych będę oznaczał *. Sprezężenie hermitowskie (transponowanie plus sprzężenie zespolone) będę oznaczał †

W naszym V mam zwykły dodatnio określony iloczyn skalarny

(u,v) = u† v = u1* v1 + u2* v2

Płótno przyszło z takim iloczynem skalarnym. 

Jednak natychmiast domaliwaliśmy tam “nasz autorski ” iloczyn skalarny, indefinitny

<u,v> = u1* v1 - u2* v2 .

To jest tło dla całego obrazu. On będzie jeden, jedyny indefinitny. Tych dodatnio określonych będzie zatrzęsienie. Można będzie łatwo sie w ich gąszczu pogubić. Ten (u,v) też w tym gąszczu się znajdzie, jako jedno z nieskończonej wielości włókien wiązki – niczym sie nie wyróżniające się.

I już mamy tło. Jednak musze skoczyć do sklepu po pędzle, bo potrzebne mi nowe, zatem na dziś na razie na tym skończę.