Tym razem wprowadzimy magmę wzorując się na definicji Wikipedii.
Definicja. Magmą nazywamy zbiór M wysposażone w operację ∙ przypisującą każdym dwóm elementom a,b zbioru M inny element a∙ b z M.
Operację ∙ nazywamy (na ogół) niełącznym mnożeniem.
Morfizmem magm M i N nazywamy funkcję f: M → N zachowującą operację ∙ : Zatem, dla x,y z M mamy:
f(x ∙M y) = f(x) ∙N f(y)
Tutaj ∙M jest mnożeniem w M, ∙N jest mnożeniem w N.
Tak na przykład ( a∙ (b ∙ c)) jest elementem w M otrzymanym przez pomnożenie z lewej iloczynu (b ∙ c) przez a. Ponieważ mnożenie nie jest łączne – nawiasy są istotne. Natomiast często opuszczamy ∙ i nawiasy zewnętrzne. Zatem (a∙ (b ∙ c)) możemy zapisać jako a(bc). Jednak gdy to będziemy chcieli pomnożyć, powiedzmy przez d z prawej, zapiszemy wynik jako (a(bc))d.
Magma swobodna nad X.
Niech dany będzie zbiór X, skończony lub nie. Jego elementy możemy interpretowac jako “litery alfabetu”. Wygodnie nam będzie przedstawić X jako zbiór indeksowany, zbiorem indeksów I, zatem
X={xi: i ∈ I}
Definiujemy teraz niełączne słowa indukcyjnie, ze wsględu na stopień. Każde xi jest nielącznym słowem stopnia 1. A teraz indukcyjnie: jesli w1,w2 są niełącznymi słowami stopni s1,s2, to (w1w2) jest niełącznym słowem stopnia s1+s2. Tak więc (opuszczając te najbardziej zewnętrzne nawiasy) (x4x1)((x2(x3x4))x2) jest niełącznym słowem stopnia 6.
Magma swobodna nad X to zbiór wszystkich niełącznych słów wraz z mnożeniem określonym przez przywrócenie zewnętrznych nawiasów w każdym czynniku, i zestawienie czynników jeden za drugim.
Zauważmy, że nie używamy pustego nawiasu () - moglibyśmy go użyć gdybyśmy chcieli zdefiniować magmę “z jednością”. Magmę swobodną definiujemy jednak bez jedności, zatem (x1x2) nigdy nie jest równe x1 lub x2.
Czytelnik może teraz zechcieć zestawić te w miarę strawne definicje, połaczone jednak z odwoływaniem się do machania rękami (typu: dołączamy nawiasy, zestawiamy kolejno etc.) z definicją Bourbakiego, bardziej sformalizowaną. Przypomnę obrazek – drzewo genealogiczne.
Dzień dobry.
ReplyDeleteZ góry zaznaczę, że dopiero co zaczynam przygodę z matematyką i stopniowo będę się w nią wgłębiał. "Magma" to w ogóle jest coś nowego dla mnie. W związku z tym miałbym pytanie, bardzo podstawowe, a mianowicie chodzi mi o znoszenie nawiasów i znajdywanie we właściwy sposób, stopnia niełącznego słowa.
Obrałem pewien sposób, który miał mnie doprowadzić do obliczenia stopnia niełącznego słowa. Rozpisałem sobie to w zeszycie i dałem zdjęcie tutaj -> https://files.fm/f/qutft2u52 To jest optymalny sposób dochodzenia do tego? Generalnie myślę o różnicy między zewnętrznymi i wewnętrznymi nawiasami... Czy może być tak jak ja do tego podszedłem czy jednak najpierw powinienem pozbawić nawiasów na przykład czynnik "(x4x1)" -> x4x1 z całego słowa (x4x1)((x2(x3x4))x2)?
W ogóle podoba mi się hipoteza, że "fizyka przyszlości będzie prawdopodobnie oparta na działaniach niełącznych" - W tej strukturze algebraicznej "Magma" zauważam podobieństwa do koncepcji Wszechświata jako czegoś co jest Jedynym/The One u podstawy, a co przez odstąpienia od stanu Jedności tworzy całą różnorodną Kreację. Co jest też pewnym paradoksem, ponieważ mamy do czynienia z jednością w różnorodności.
Porównując to z Magmą: wiele słów stopnia pierwszego, oddzielonymi nawiasami odzwierciedla różnorodność i odstąpienie od jedni, a zdejmowanie nawiasów pokazuje powrót do jedni i niwelowanie różnic, zachowując przy tym wyższy stopień złożoności tego samego słowa, co nadaje sens temu całemu procesowi. Wyższy porządek dzięki jedności w jednym słowie niełącznym poprzez wielość w wielu czynnikach.
Nawet pusty nawias "()" oznacza magmę z jednością, ta pustka przywołuje skojarzenia z tym jak ja opisywałem The One/Jedynego jako Nicość (przyp. pusty nawias, pustka-nicość), oczywiście definiując Nicość w specyficzny dla mnie sposób (rozpisywałem się na ten temat jeszcze na blogu na Salon24, który kiedyś prowadziłem). Ciekawa jest również magma swobodna, tę swobodę możemy odnieść do wyzwolenia/wyswobodzenia potencjału jedności i nastąpieniu odstąpień oraz rozróżnień. Dużo sensu wtedy ma to, że np. słowo niełączne (x1x2) moglibyśmy uznać za "ssak", a x1 za psa, a x2 za kota. W takim wypadku pies nie jest dosłownie ssakiem, tak jak x1 lub x2 nigdy nie jest równe x1x2. Jednak pies jest odstąpieniem i poróżnieniem od "ssak", jest jakby dalszym produktem w Stworzeniu. A z kolei jeśli po mnożymy niełącznie x1 i x2, to dostaniemy słowo niełączne x1x2, a więc dostaniemy: ssak. Dalej zachowujemy różnorodność/nie łączność, ponieważ pies nie staje się nagle kotem, jednak wspólnie mamy nowe słowo niełączne wyższego stopnia, tak jak mamy nową formę życia naturalnego wyższego stopnia i jest nią ssak jako taki.
Bardzo mądra ta algebra jest.
Dziękuję za te uwagi. Postaram się odnieśc do nich w kolejnej notce z serii - zapewne w poniedziałek.
ReplyDeleteJasne, na spokojnie. Wolałbym żebyś skupił się na działaniach "na froncie", że tak powiem, a ja tu sobie będę skrobał, będę ciupał tę matematykę (i fizykę). Jakbyś jednak zauważył, że możesz podzielić się czymś o co pytam, a przy okazji ktoś jeszcze na tym zyska, to OK.
ReplyDelete