Przejścia fazowe model zabawka 7

 Wiązka styczna

Weźmy punkt z na dysku. Z tym punktem związaliśmy projektor E_z oraz symetrię S_z. Weźmy krzywą z(t) przechodzącą przez punkt z: z(0)=z. Weźmy wektor styczny  w tym punkcie: z'(0). Przez ' będziemy oznaczac pochodną po t. W obrazie w którym punkty dysku reprezentujemy przez symetrie, wektor styczny reprezentowany będzie przez macierz S'(0).

Dla każdego t mamy

S(t) = S(t)*,  S(t)S(t) = I.

Różniczkując po t w t=0 otrzymamy więc:

S'(0) = S'(0)*,  S'(0)*S(0)+S(0)S'(0)=0.

Stąd mamy definicję:

Wiązkę styczną definiujemy jako zbiór par (S,X), gdzie S jest symetrią, zaś X=X* antykomutuje z S. Dla  danego S przestrzeń styczna w tym punkcie to zbiór macierzy hermitowskich (względem indefinitnego iloczynu skalarnego  < , > ) antykomutujacych z S.

W kolejnych notkach omówimy przykłady oraz wprowadzimy metrykę Riemanna i strukturę zespoloną na naszym dysku.

P.S. Poprawiłem macierze w poprzedniej notce. Były z błędami. Oto kod Mathematica sprawdzający:

z = x + I y

zb = x - I y

Ez = Simplify[(1 - z zb)^(-1) {{1, -zb}, {z, -z zb}}]

Simplify[Ez.Ez - Ez]

Simplify[Ez.{1, z} - {1, z}]

MatrixForm[Ez]

Sz = (1 - z zb)^(-1) {{1 + z zb, -2 zb}, {2 z, -(1 + z zb)}}

Simplify[Sz.Sz]