The Physics of Densities and the Problem of Time

We communicate using words. Some of our words (though not all) carry meanings. We communicate our thoughts, idea, emotions. There are different levels of communication. The meaning of the word can be found in a dictionary or a thesaurus. But words put together into sentences, and sentences into blocks may carry meaning that are not in a dictionary. The "whole" is more than the sum of its parts. We know it from our experiences. But we also know from our experience that the communication can go deeper when we also listen to the pauses between words. Thus listening adds extra dimension to the reading experience alone. And when we see the body language, when we do feel the physical presence of the person, it adds even more dimensions.

But what exactly are thoughts? And what exactly is "communication?"

In 2006 two physicists, Elisabeth Rausher

and Russell Targ, 

published a paper in Proceedings of the conference of American Institute of Physics under the title  "Investigation of a Complex Space-Time Metric to Describe Precognition of the Future" [1]. In the original 2001 version of the paper [1a]  (still available here) the title was expanded by adding at the very beginning "The Speed of Thoughts:" - though the abstract of the paper was exactly the same.

Let me quote from the Introduction ofv this paper:

" (...) Now in the twenty-first century, the evidence has become overwhelming that our thoughts and bodies can be directly affected and influenced by the thoughts of another person or by events and activities at a distant location blocked from ordinary perception. (...)"

It is somewhat surprising that the American Institute of Physics, a serious institution,  allowed for a publication of such a statement. And "Precognition of the Future"? Is it not considered as pseudo-science? Or, in  the best case, as "fringe science"? Strange. I leave the Reader speculation about possible causes of such a "faux pas".

But let us return to the subject of thoughts and thinking. What is this THINKING? When I am thinking about thinking a handy phrase comes to my mind: Thinking is information processing". Happy? I m not in the least. Because what is "information" and what is "processing"? I am thinking (without processing) that perhaps it should be the other way around. Perhaps thoughts are primary, and information is a concept that has been abstracted by thinking from the data and put into a linear order of mathematical abstraction by organized thoughts of mathematicians? 

We notice that the paper by Rauscher and Targ has been published in a volume entitled "CP863, Frontiers of Time, Retrocausation—Experiment and Theory, edited by D. P. Sheehan". We see the term "Frontiers of Time". How time is related to thinking?  And what is the algebra of thinking and time? Because some math is certainly necessary, sooner or later. But which math? Logic? Topology? My answer is : algebra. Logic can be described in terms of algebra (Boolean algebra, matrices, commutative and non-commutative), and topology is a later concept, there would be no topology without algebra (homotopy groups, homology, Chern classes etc.)

Algebra? But which kind of algebra? The simplest one is probably the algebra of 2x2 complex matrices. It is good for toy models. But to describe states of pure awareness (densities) and transitions between them, we need infinite dimensional algebra. In mathematics we are being taught about Clifford algebras, and more general C* algebras. We also come across a strange structure of the "Calkin algebra". This is related to "phase transitions", and we will be interested in such transitions, except that for a popular in mathematical solid state physics "Ising model", as it is mathematically analyzed in [3]. But all this will come later. For now we will have to discuss the problem of thoughts, thinking, states of awareness, and, last but not least, time.

Mathematicians "classify" their structures, much like "taxonomy" in biology. These structures come into families, but there are also "exotic" structures. Physicists find many different applications for standard mathematical structures, within families, but what about those singular exotic structures. One such exotic structure is "octonions" and related "exceptional Jordan algebra", the algebra of 3x3 matrices over octonions. Physicists have their own exotic structures. One such structure is an elusive "magnetic monopole" (see [4]). What can be an application of such exotic structures? Elementary particle physics? That would be not exotic at all. Exotic structures are to be applied to exotic problems. The problem of consciousness and of time - is such a problem. But the problem of consciousness and the problem of time needs an infinite number of dimensions. How infinite? There is a hierarchy of infinities. Countable infinity is not sufficient.

Concerning "dimensions: The monograph [4] is devoted entirely to the problem of "time". It also talks about "topology" and "quantization of shapes" - rather advanced mathematics is required here. Then we find this piece:

"I  had  the  fortune  of  having  as  a  brother-in-law  one  of  the  greatest mathematicians of recent times, Bill Thurston. Bill and I lived a few blocks from each other in Berkeley, and we had many conversations about  careers  (as  a  graduate  student,  he  was  convinced  that  he would  never  find  a  good  job),  mathematics,  and  physics.  He  was fascinated with my description of what we knew about the universe. He asked me if anybody had seriously considered a multiconnected universe?  Did  he  mean  wormholes,  passageways  that  potentially connected  one  part  of  the  universe  with  another?  No,  he  had something far simpler and much more elegant in mind. Bill  was  ultimately  most  famous  for  his  advances  in  topology, complex  geometries  that  went  far  beyond  our  normal  imagination. He told me that he had actually mastered the skill of being able to think in four dimensions. Few people believed him, until he produced a  vast  array  of  wonderful  theorems  that  he  claimed  he  had discovered by simply looking at surfaces in 4D space in his mind. It turns out, oddly, that math problems in three and fewer dimensions are relatively easy, and problems in five or more dimensions are also relatively  easy,  but  dealing  with  four  dimensions  is  very  tough. Thanks  to  his  work  in  four  dimensions,  Bill  was  to  win  the  FieldsMedal, the “Nobel Prize of mathematics,” before he turned forty.

And yet, surprisingly, the author avoids the subject of Kaluza-Klein theories and our reality having more than three space and one time dimension. In this respect Rauscher and Targ go deeper, and beyond main stream physics, as they allow for a complex 8-dimensional spacetime with acausal connections. 

How do we go from a finite number of dimension to infinite number? Nowadays we know the answer - by "quantization". We quantize a mechanical system by considering the space of functions (waves) on the configuration space. We call it "first quantization". In this first quantization the number of degrees of freedom of the system is finite and sharp. But then we consider functions on the space of functions, we "second quantize" the system, and even the number of particles becomes "wavy". We can thus proceed to the third and fourth quantization etc., though no one has an idea where to end and why?

From quantum theory, so successful for not quite well understood reasons, new insights came. Richard Feynman developed a technique called "integral over trajectories". Every classical trajectory acquires a complex "amplitude", whose modulus squared can be interpreted as a "probability". Then "real" trajectories of Newtonian physics are simply those "most probable ones" ("extremal"). Yet all those other trajectories are also important if we want to make quantum theoretical calculation agree with the observed, sometimes strange indeed, reality. Somehow, it would seem, our consciousness, whatever reality is hiding behind this concept, makes the "most probable" "real". The naïve reality of tables and chairs is just the most probable effect of the process of actualization of quantum probability waves.  Or so it seems. The very process of this actualization is still an enigma known as "the quantum measurement problem".

Quantum theory, in fact, is about measurements. The fundamental uncertainty relations as well as the more general concept of complementarity deal with restrictions on measurements. When measuring the momentum we disturb the position, when measuring the postion, we disturb the momentum. Measuring position forces the quantum object to behave like a particle. Measuring its momentum we force the object exhibit its wave-like properties. Yet the very process of measurement, its dynamics, is still a puzzle - it escapes the theoretical description. The idea that there is no measurement problem and no "quantum jumps", that the quantum wave function is a "hidden variable" that somehow, for some reasons "pilots" the classical particle is attractive, but does not explain where the mysterious quantum force that tells the particle to wander in space against the standard laws of mechanics is incomplete and has limited applications. 

Another approach to the measurement problem has other attractive properties and other limitations [5]. It is an old story that "consciousness" is somehow involved automatically in quantum theory. As John Archibald Wheeler termed it "No phenomenon is a phenomenon unless and until it is an observed phenomenon". But then we need to explain "consciousness" and "observation". Wheeler then continued:

" no elementary quantum phenomenon is a phenomenon until, in Bohr's words [10], "It has been brought to a close" by  "an irreversible act of amplification."  What we call the past is built  on bits. (...)  

"Consciousness".  We have traveled what may seem a dizzying path. First,  elementary  quantum  phenomenon brought  to  a  close by an  irreversible act of  amplification.  Second,  the  resulting information expressed in  the  form  of bits.

Third,  this  information used by observer-participants — via communication — to establish  meaning.  Fourth, from  the past  through the  billeniums to  come, so many observer-participants,  so many bits,  so much exchange of information, as to  build what  we call existence. Doesn't  this  it-from-bit  view of existence seek to  elucidate  the  physical world, about  which we know something, in terms of an entity about  which we know almost nothing,  consciousness  [134-137]? "

And then:

"Six:  Capitalize  on  the  findings  and  outlooks  of information theory  [160-163], algorithmic  entropy  [164],  evolution  of organisms  [165-167]  and  pattern  recogni-tion  [168-175].  Search out  every link each has with  physics  at  the  quantum level. Consider, for instance,  the  string  of bits 1111111 . . .  and its representation as the sum of the  two strings 1001110...  and 0110001...  Explore  and exploit the  connection  between  this  information-theoretic statement  and  the findings of theory  and experiment on the correlation between the polarizations of the two photons  emitted in the  annihilation of singlet positronium  [176] and in like Einstein-Podolsky-Rosen experiments  [177],  Seek out, moreover, every realization  in the  realm of physics of the information-theoretic  triangle inequality recently discovered by  Zurek  [178]. Finally:  Deplore?  No,  celebrate  the  absence  of a  clean  clear  definition  of  the term  "bit"  as  elementary  unit  in  the  establishment  of meaning.  We reject  "that view  of science  which  used  to  say,  'Define  your  terms  before  you proceed.'  The truly  creative  nature  of any forward  step in human knowledge," we know,  "is such that theory, concept, law and method of measurement — forever inseparable — are born into the  world in union  [179]."  If and when we learn  how to  combine bits  in fantastically  large  numbers to  obtain  what  we call  existence,  we will know better what we mean  both  by bit  and by existence. A  single question  animates  this  report:  Can  we ever expect  to  understand  existence?  Clues  we have,  and  work to  do, to  make headway on that  issue.  Surely someday,  we  can  believe,  we will  grasp  the  central  idea  of it  all  as  so simple,  so beautiful,  so compelling that we will all say to each other,  "Oh, how -could it  have been otherwise!  How could we all have been so blind so long!" 

If "it" comes from "bit", which sounds true, if matter is actualized and organized information, if there are organization levels that we may call "densities" - then, contrary what Wheeler suggests [6], we must not celebrate the fact that we do not have a clear definition of "bit", that we talk about information without being able to define it. This job needs to be done, and it will.

References:

[1] Elizabeth A. Rauscher and Russell Targ, "Investigation of a Complex Space-Time Metric to Describe Precognition of the Future",  AIP Conference Proc. 863 (2006),  http://dx.doi.org/10.1063/1.2388752

[1a]Elizabeth A. Rauscher and Russell Targ,  "The Speed of Thought: Investigation of a Complex Space-Time Metric to Describe Psychic Phenomena", Journal of Scientific Exploration", Vol. 15, No. 3, pp. 331–354, 2001 0892-3310/01, DOI:10.1063/1.2388752

[2] A. L. Carey, "Algebras  Almost  Commuting  with Clifford  Algebras", JOURNAL  OF  FUNCTIONAL  ANALYSIS  88,  279-298  (1990) 

[3] R. A. Sventkovsky, "The Equations of Dirac and Maxwell as a Result of Combining Minkowski Space and the Space of Orientations into Seven-Dimensional Space-Time",     October 2020 Mathematical Notes 108(3-4):381-393, DOI: 10.1134/S0001434620090072

[4] Edward Anderson, "The Problem of Time: Quantum Mechanics Versus General Relativity", Springer International Publishing, Oct 3, 2017 - Science - 920 pages

(...) This book shows moreover that eight of the nine facets of the Problem of Time already occur upon entertaining background independence in classical (rather than quantum) physics.(...) This book explains how, none the less, a local resolution of the Problem of Time can be arrived at after various reconceptualizations of the facets and reformulations of their mathematical implementation.  Self-contained appendices on mathematical methods for basic and foundational quantum gravity are included. Finally, this book outlines how supergravity is refreshingly different from GR as a realization of background independence, and what background independence entails at the topological level and beyond.

[5] Henry P. Stapp "Mindful Universe Quantum Mechanics and the Participating Observer", The Frontiers Collection, Springer, 2011, ISBN: 9783642180750,9783642180767,3642180752,3642180760, 
The classical mechanistic idea of nature that prevailed in science during the eighteenth and nineteenth centuries was an essentially mindless conception: the physically described aspects of nature were asserted to be completely determined by prior physically described aspects alone, with our conscious experiences entering only passively. During the twentieth century the classical concepts were found to be inadequate. In the new theory, quantum mechanics, our conscious experiences enter into the dynamics in specified ways not fixed by the physically described aspects alone. Consequences of this radical change in our understanding of the connection between mind and brain are described. This second edition contains two new chapters investigating the role of quantum phenomena in the problem of free will and in the placebo effect.

[5] John Archibald Wheeler, "Information, Physics, Quantum: the Search for Links".

This  report  reviews what  quantum  physics  and information theory  have to  tell  us about  the  age-old  question,  How come  existence?  No escape is evident  from  four conclusions:  (1) The world cannot  be a giant  machine, ruled by any  preestablished continuum  physical  law.  (2)  There  is  no  such  thing  at  the  microscopic level  as space  or  time  or  spacetime  continuum.  (3) The  familiar  probability  function  or functional,  and  wave equation  or  functional wave equation, of standard  quantum theory  provide  mere  continuum  idealizations  and  by  reason  of this  circumstance conceal the  information-theoretic  source from  which they  derive. (4) No element  in the  description  of physics shows  itself  as closer  to  primordial than  the  elementary quantum phenomenon, that is, the  elementary  device-intermediated act of posing a yes-no physical question and  eliciting  an  answer or, in brief,  the  elementary  act of observer-participancy.  Otherwise stated,  every  physical  quantity,  every it,  derives its ultimate  significance from  bits, binary yes-or-no indications, a conclusion which

we epitomize in the  phrase,  it from  bit.

P.S. Here is a piece from the discussion with "us in the future"

Fighting demons: Life is a test

 Reading Mary Balogh, "The Proposal":

And there:

(...) She turned her head away from him once more.

“You are the head of the house now, Hugo,” she said bitterly. “If you choose to bring my mother here, I cannot stop you.”

He opened his mouth to say more but then shut it again. She did not feel she could say yes, he supposed, without somehow losing face. So she had put the responsibility of the decision upon his shoulders. Well, they were broad enough.

(...) All people, he thought with a sigh as he left the room, had their own demons to be fought—or not fought. Perhaps that was what life was all about. Perhaps life was a test to see how well we deal with our own particular demons, and how much sympathy we show others as they tread their own particular path through life. As someone had once said—was it in the Bible?—it is easy enough to see the speck of dust in someone else’s eye while remaining unaware of the plank in one’s own.(...)

And everyone will see the above thoughts differently. Some will learn something, some will just think "I know better...". Hugo, the hero of this particular novel, has his own demons that he has to fight with. But he also has to fight with other people demons. Some of them are benign, but some are nasty. I love this book! And love the author.

P.S. Here is the interview with Mary Balogh kindly provided in a comment by Laura:

Polish Government Notified of Their Crime of Attempting to Legalise Genocide

 Read here:

https://expose-news.com/2022/11/16/polish-gov-notified-of-crime-to-legalise-genocide/

Czasoprzestrzeń, przestrzeń, a w niej sfera

 Idziemy krok za krokiem, Powoli ale niestrudzenie. Nie oglądamy się za siebie, a nawet jeśli się oglądamy, to jedynie po to by sprawdzić odchylenia od zamierzonego kierunku. A kierunkiem tym jest rozwiązywanie zagadek, uczenie się, poszerzanie wiedzy. Bo wiedza chroni, ignorancja to nasz wróg. To nasza główna wytyczna. Życie jest lekcją.

Zacznę od kolejnego fragmentu z mojego poradnika:

Nie ograniczaj swojego potencjału z powodu swoich przekonań lub ograniczeń innych.  Weź odpowiedzialność za swoje własne życie... i ciężko pracuj każdego dnia, aby osiągnąć sukces i spełnienie w tym, co zdecydujesz się zrobić z nim!

Nigdy nie oczekuj, że inni zrobią dla Ciebie rzeczy, których sami nie chcą zrobić. Nigdy nie bądź zbyt zajęty lub zbyt zmęczony, by kochać siebie... lub by kochać i dbać o tych, którzy są ci najbliżsi.

Nie oczekuj zbyt wiele od innych... i nie oczekuj, że będą dawać więcej niż mogą. Nie żyj tak, jakbyś był uprawniony lub uprawniony do czegoś, to wszystko zależy od ciebie. Żyj tak, jakby twoje największe dary zostały już dane. Jeśli inni ludzie nie mogą dać ci tego, czego chcesz.... zrób coś z tym sam!

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

Zaczniemy od macierzy Pauliego. Nie chciało mi się ich wypisywać, więc pożyczyłem sobie poniższy obrazek z prezentacji algebry liniowej tutaj:

Będę używał literek s zamiast sigma, bo nie mam na klawiaturze sigmy. Zatem moje macierze, to będą s0,s1,s2,s3. Tak naprawdę macierzami Pauliego nazywa się jedynie trzy macierze s1,s2,s3. Wygodnie jednak dodać do repertuaru macierz jednostkową i nazwać ją s0.

Z jakiegoś powodu na tym obrazku powyżej figurują X,Y,Z. Zapomnijmy o tym, bowiem tylko by nas to dalej myliło.

Wszystkie cztery macierze są hermitowskie. W samej rzeczy tworzą bazę w czterowymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej macierzy hermitowskich. 

Czasoprzetrzeń ma też cztery wymiary. By cztery współrzędne miały ten sam wymiar fizyczny wprowadzamy x0=ct, x1=x, x2=y, x3=z. I wtedy aż się prosi by utworzyć macierz

X = x0 s0 + x1 s1 + x2 s2 + x3 s3

Zauważamy wtedy, że

det X = c^2 t^2 -x^2 -y^2 - z^2

a to jest "długość" czterowektora (x0,x1,x2,x3) - interwał czasoprzestrzenny pomiędzy początkiem układu współrzędnych a punktem/zdarzeniem  (x0,x1,x2,x3) - w geometrii Minkowskiego.

Zauważamy też, że połowa śladu macierzy X to "czas" x0=ct w którym zaszło zdarzenie  (x0,x1,x2,x3) ( w wybranym inercjalnym układzie współrzędnych, bo do takiego wszystko odnosimy).

Zatem X o śladzie zero odpowiadają zdarzeniom jednoczesnym ze zdarzeniem (0,0,0,0). To trójwymiarowa przestrzeń w chwili t=0. .

Symetrie, te z poprzedniej notki, to macierze hermitowskie, o śladzie zero i kwadracie jeden. Skoro hermitowskie i o śladzie zero, to są rzeczywsitymi kombinacjami liniowymi trzech macierzy Pauliego s1,s2,s3. Wprowadźmy zatem oznaczenie

s(n) = n1 s1 + n2 s2 + n3 s3

gdzie n jest wektorem w R^3, n=(n1,n2,n3).

Łatwo wtedy wyliczyć, że s(n) s(n) = n^2 I

gdzie n^2 = n1^2+n2^2+n3^2 jest kwadratem długości wektora n.

Zatem każda symetria J jest postaci s(n) dla pewnego (jedynego) wektora jednostkowego n - punktu na sferze jednostkowej. 

I tak rozwiązaliśmy zadanie z poprzedniej notki.

W kolejnej notce (zapewne w poniedziałek) rozważymy tę sferę jako przestrzeń jednorodną dla grupy SU(2) i SO(3). Potem wprowadzimy niezmienniczą metrykę Riemanna i  zajmiemy się  geodezyjnymi dla tej metryki.

 

Do poniedzialku zatem

 

I na zakończenie ostatni fragment z "poradnika":

Jesteś już kompletny i wystarczająco kompletny, więc przestań oczekiwać doskonałości w każdym momencie swojego życia.  Uświadom sobie, że wszystko pasuje do siebie idealnie, ponieważ ten aspekt wszechświata... i Twoja część w nim nigdy nie może być doskonała. Pojawiaj się każdego dnia właśnie w taki sposób w jaki jesteś jesteś, a będziesz zaskoczony tym, jak wspaniały już jesteś.

Porzuć iluzję punktu widzenia, że wszystko musi się zmieścić do pudełek, aby móc się z tym połączyć lub odnieść. Kiedy etykietujemy rzeczy dobre lub złe, piękne lub brzydkie, ważne lub nieważne... zdradzamy siebie (give ourselves away)  ... i musimy to natychmiast przerwać!  Rzeczy nie mają żadnej "wartości" poza naszym postrzeganiem ich.... nasza własna indywidualną wersją "rzeczywistości". A to jest po prostu mit.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

I to by było na tyle.

 

Odtąd będę mój blog kontynuował w prostym języku angielskim.

P.S. Usunąłem z notki piosenkę. Spodobała mi się w czasie gimnastyki, więc ją wstawiłem, ale, jak mi słusznie na to zwrócił uwagę Czytelnik,  zaburza treść i odwraca uwagę. W przyszłości będę wyłącznie rzeczowy i będę takich odwracających uwagę wstawek unikał. 

Symetrie w dwuwymiarowej przestrzeni zespolonej

 Punktem wyjścia jest najprostsza nietrywialna przestrzeń Hilberta: C². W mechanice kwantowej używana jest zwykle do opisu czystego spinu 1/2 - jak to ma elektron czy proton. Wektorami tej przestrzeni sa pary liczb zesponych (u1,u2), zapisywane zwyle jako kolumienki.

Mamy tam naturalny hermitowski iloczyn skalarny. Jeśli ξ = (u1,u2), ξ'=(u1',u2') to

(ξ,ξ') = u1* u1' + u2* u2' 

gdzie * oznacza sprzężenie zespolone. Zatem jeśli z=a+ib, gdzie a,b rzeczywiste, to z*=a-ib.

Będą nas interesować macierze zespolone 2x2. Dla takich macierzy A mamy definicje sprzężenia hermitoskiego A*, gdzie A* jest macierzą zespolenie sprzężoną i transponowaną do A. Mamy wtedy

(ξ,  Aξ') = (A* ξ, ξ') .

Macierze takie, że A=A* nazywamy hermitowskimi.

Definicja: Symetriami będziemy nazywać macierze J które mają następujące włąsności:

1) J=J*

2) J² = I (I to macierz jednostkowa)

3) Tr(J) = 0

Ad 1) Czyli J ma  być macierzą hermitowską. Każda taka macierz ma dwie rzecwywiste wartości własne.

Ad 2). Zatem wartości własne mogą być +1 lub -1

Ad 3) Ślad macierzy hermitowskiej to suma jej wartości własnych. Skoro ślad ma być zerem, to jedna wartość własna musi być +1, druga -1. Wykluczamy tym samym przypadki gdy obie wartości własne są +1 (wtedy J=I), lub gdy obie są -1 (wtedy J=-I).

W następnej notce znajdziemy, posługując się macierzami Pauliego, najogólniejszą postać symetrii. Zobaczymy, że mamy 1-1 odpowiedniość pomiędzy symetriami a punktami dwuwymiarowej sfery (dobre zadanko dla licealisty).

I kolejny fragment z mojego tajemniczego "poradnika". Podobają mi sie te zalecenia, dlatego je tu przedstawiam:

Pamiętaj, aby każdego dnia poświęcić trochę czasu na cichą medytację, modlitwę lub inną osobistą refleksję.  Praktykuj pozytywne afirmacje regularnie... w myślach, w sercu i na głos, kiedy to tylko możliwe.

Będziesz potrzebował tych pozytywnych afirmacji, aby pomóc sobie rozwinąć zdrowe poczucie miłości i współczucia wobec siebie i wobec innych.

Bądź otwarty na nowe możliwości, które się pojawiają... i ciesz się nimi. Nie zniechęcaj, nie krytykuj ani nie potępiaj siebie za błędy, które możesz popełniać po drodze.  Pozwól sobie uczyć się na tych błędach, i postrzegaj swoje doświadczenie jako ważną "lekcję", która pomoże ci rozwinąć bardziej kochającą, współczującą i dającą postawę wobec siebie i innych w przyszłości.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

Strategiczne wycofanie się

 Ten cykl notek, zaczynający się od "Przejścia fazowe - model zabawka" był pomyślany jako odpowiedź na jawną prośbę jednego z czytelników bym taki model rozwinął jako zastosowanie EEQT. No i zacząłem rozwijać. Jednak ten czytelnik nie wykazał tym moim rozwinięciem najmniejszego zainteresowania. Rozwijanie go dalsze byłoby upartym trwaniem w błędzie, błędnie bowiem oszacowałem autentyczność zainteresowań Czytelnika.

Zatem ten cykl zatrzymuję, nie będe go dalej rozwijał. Wrócimy do znanych nam dobrze macierzy Pauliego i do dwuwymiarowej sfery w trójwymiarowej przestrzeni. I tam sobie pobaraszkujemy. Na początek polecam mój stary wpis o macierzach Pauliego:

Helios, mitologia i macierze Pauliego

Posługując się macierzami Pauliego popatrzymy na sferę jako na symetryczną rozmaitość Riemanna o stałej krzywiźnie dodatniej, znajdziemy tam metrykę, symetrie, konektory i geodezyjne. Wszystko elementarnie.

Geodezyjne na dysku Poincarego a psychologia kwantowa

Wspominałem już uprzednio, że interesuję się psychologią. Czy kwantową? Być może i kwantową, bo pełną sprzeczności. W poprzedniej notce cytowałem jeden fragment z takiego jednego psychologicznego "poradnika". Więc dziś, w ramach kontynuacji, kolejny fragment:

Uznaj wartość opinii innych ludzi... nawet jeśli te opinie różnią się od Twoich.
Zawsze możesz szanować kogoś za jego prawo do posiadania innej opinii niż ty... nawet jeśli zachowuje się lub reaguje w sposób, który sprawia Ci w danej chwili trudności.
Stwórz środowisko, w którym szczęście innych jest ważniejsze niż twoje samouwielbienie. Szukaj pozytywnych doświadczeń, którymi możesz podzielić się z innymi... i pozwól sobie by naprawdę cieszyć się z ich sukcesów i osiągnięć.
Nie pozwól, abyś stał się zazdrosny, zgorzkniały lub pełen pretensji do innych;
W samej rzeczy powinieneś próbować powstrzymać się od przygnębienia z powodu czyjegoś sukcesu.

Unikaj nadmiernej samokrytyki i negatywnego self-talk. Mów uprzejmie i pewnie o sobie.  Pozwól, aby inni komplementowali cię za Twoje dobre cechy... ale nie dawaj im uznania za te rzeczy, które czujesz, że są poniżej ciebie w tej chwili. Podejmij świadomy wysiłek, aby przyjąć pozytywne i optymistyczne nastawienie do wszystkiego co darza się w twoim życiu codziennie; nawet jeśli inni nie mogą zobaczyć tego teraz, ty w końcu będziesz w stanie zobaczyć dowody wspaniałych możliwości które są teraz przychodzące twoją droga... możliwości, które pozwalają ci osiągnąć wielkie poziomy osobistej doskonałości.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

A dalej, w ramach kontynuacji, geodezyjne na dysku, te, które są dla siebie sterem, żeglarzem, okrętem W poprzedniej notce kreśliliśmy geodeyzjne przechodzące przez „centrum” dysku. W niniejszej notce zajmiemy się pękiem geodezyjnych przechodzących przez punkt poza centrum. Pamiętajmy przy tym, że podróż po geodezyjnych jest niebezpieczna. Nazywa się inaczej "swobodnym spadaniem". Przeciwne do swobodnego spadania jest nieswobodne wznoszenie się. Jak przy starcie samolotu. Z filmu poniżej dowiadujemy się, że tak naprawdę nie wiemy czemu samoloty latają. Można włączyć angielskie automatyczne napisy, ale niektóre słowa (na przykład zaczynające się od f...) mogą być w tych napisach ocenzurowane....

W poprzedniej notce rysowaliśmy pęk geodezyjnych przechodzących przez punkt z=0. Wyszły linie proste, promieniście. Dziś wyrysujemy pęk geodezyjnych przechodzących tym razem przez punkt z = 1/2 +i/2. Nic innego nie przyszło mi do głowy. Metoda będzie jednak ogólna, jak to ją opisaliśmy w notce "Różnica między taktyka a strategią". Będę szedł krok za krokiem i opisywał co robię. 

Algbra Liego g grupy G=SU(1,1) to macierze zepolone 2x2, antyhermitowskie względem indefinitnego iloczynu skalarnego.  Wybieramy bazę w przestrzeni tych macierzy. Będę używał kodu Mathematica, Najpierw wprowadzamy macierze Pauliego s1,s2,s3:

s1 = {{0, 1}, {1, 0}}; s2 = {{0, -I}, {I, 0}}; s3 = {{1, 0}, {0, -1}};

Te macierze są hermitowskie względem standardowego dodatnio okreslonego iloczynu skalarnego. Macierze s1,s2, są antyhermitowskie względem indefinitnego iloczynu typu (1,1). Macierz s3 jest względem niego hermitowka, zatem następujące macierze e1,e2,e3 tworzą bazę w algebrze Liego g = Lie(G):

(* Lie algbers su(1,1) *)

e1 = s1; e2 = s2; e3 = I s3;

Budujemy teraz J odpowiadajace punktowi z=1/2+i/2. Formułę na J_z weźmiemy z notki Przejścia fazowe Model zabawka 6. Tam J nazywaliśmy S:

Podstawiając tu nasze z dostajemy Dla urojonego i Mathematica chce I: 

J = {{-3, 2 + 2 I}, {-(2 - 2 I), 3}};

Sprawdzamy czy na pewno J^2=I:

J.J

Out: {{1, 0}, {0, 1}}

Przy danym J algebra Liego g dzieli się na część k komutujacą z J i część p antykomutującą z J.. Chcemy znaleźć ogólną postać elementu X z p. X jest kombinacją liniową wektorów bazowych e1,e2,e3

X = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3;

Chcemy znaleźć ogólną postać a1,a2,a3 by zapewnić XJ+JX=0. Prosimy więc grzecznie nasz program by ją znalazł:

sol = Solve[X.J + J.X == 0, {a1, a2, a3}]

I oto ogólne rozwiązanie:

Out: {a3 -> (2 a1)/3 + (2 a2)/3}}

Czyli a1,a2 mogą być dowolne, zaś a3 ma być równe a3 =  (2 a1)/3 + (2 a2)/3}. Zatem znów prosimy grzecznie nasz program by takie X wziął:

X = X /. sol[[1]]

No i bierze:

Out={{I ((2 a1)/3 + (2 a2)/3), 

  a1 - I a2}, {a1 + I a2, -I ((2 a1)/3 + (2 a2)/3)}}

Teraz już możemy wyliczyć U(t)= exp(tX):

U = FullSimplify[MatrixExp[t*X]]

Wychodzi dość skomplikowana macierz {{A,B},{C,D}}:

 Tą macierzą ruszamy nasz punkt Z: U.Z=(AZ+B)/(CZ+D), by dostać geodezyjną:

z = (1 + I)/2;
Z = FullSimplify[(U[[1, 1]]*z + U[[1, 2]])/(U[[2, 1]]*z + U[[2, 2]])]

Wynik jest dość skomplikowany:

Out: (I Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2]

   Cosh[1/3 Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2] t] + (1 + 

    I) ((2 + I) a1 - (1 + 2 I) a2) Sinh[

   1/3 Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2] t])/((1 + I) Sqrt[

  5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2]

   Cosh[1/3 Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2]

     t] + ((2 + I) a1 - (1 + 2 I) a2) Sinh[

   1/3 Sqrt[5 a1^2 - 8 a1 a2 + 5 a2^2] t])

W wyniku mamy dotąd niesprecyzowane parametry a1,a2. Wybieramy je kolejno w kierunlach będących wielokrotnościami Pi/12. Dostaniemy w ten sposób 24 geodezyjne:

geo = ParametricPlot[

  Table[{Re[Z], Im[Z]} /. {a1 -> Cos[i*Pi/12], 

     a2 -> Sin[i*Pi/12]}, {i, 0, 23}], {t, -10, 10}];

No i przedstawiamy graficznie dodając sam okrąg jednostkowy - brzeg otwartego dysku. Geodezyjne tak naprawdę nigdy do niego nie dochodzą, ale to by trzeba było obserwowac pod mikroskopem:

Show[geo, Graphics[Circle[{0, 0}, 1]]]

I oto wynik:

Zauważamy, że te geodezyjne są fragmentami okręgów i przecinają okrąg jednostkowy pod kątem prostym, podobnie jak proste przechodzące przez środek. Ta wlasność wydaje się uniwersalna dla geodezyjnych. Chcielibyśmy zrozumieć skąd się to bierze. O tym w następnej notce. Prawdopodobnie we czwartek.

P.S1. Ja widać jestem niestały. To oznaczam coś przez S, to przez J, to, być może, znowu przez S. Wprowadziłem termin "konektory". Właśnie dowiedziałem się, że te moje konektory są znane w literaturze jak "transwekcje". Więc może przejdę na te transwekcje. Ostrzegałem wczoraj, że będę wymagał rejestracji by zamieszczać komentarze, a dzisiaj, po uwagach Czytelników od tego wymagania odszedłem. A tak w ogóle, to stałości dla stałości nie uważam za cnotę. Może ktoś nieomylny, albo przynajmniej nie popełniający aż tyle błędów co ja,  uważać to za cnotę, ale ja jestem omylny i trwanie w błędzie uważam za głupotę a nie cnotę.

Ciekaw jestem co Czytelnicy o tym myślą - tak z filozoficznego punktu widzenia a także jak sami postępują?

P.S2. Docieka W. Cz. Czytelnik jaki jest tytuł mojego "psychologicznego poradnika". Jednak z tego typu poradnikami jest tak, że każdy musi dobierać sobie taki poradnik samemu (co w dobie Internetu trudnym nie jest). Bo to jest tak jak z alergią. Takie pyłki roślin na przykład. Jednemu pyłek nie szkodzi, nawet go może lubić, inny dostaje od niego silnej reakcji alergicznej. A reakcje alergiczne bywają niebezpieczne. Ja z mojego poradnika wybieram ostrożnie tylko to w miarę uniwersalne, co nie jest na żadnej liście znanych alergenów, co dla nikogo niebezpieczne nie jest. I niech tak zostanie.

P.S3. Postanowiłem wrócić do sfery - znanej nam już dobrze. To też przestrzeń symetryczna. Wrócimy więc do sfery i do macierzy Pauliego. Mamy już wypracowane metody. Znajdziemy geodezyjne i konektory na sferze S^2. O tyle miłej, że jest przestrzenią zwartą, w odróżnieniu od otwartego dysku Poincarego. I, jeśli się nie pomyliłem, używając macierzy Pauliego, konektory tam się daje ładnie jawnie wyrachować. Bedzie nam tam jednak brakowało brzegu. Bowiem brzeg sfery jest zbiorem pustym. Ale nie można mieć wszystkiego na raz. Zgodnie z zasadą komplementarności.