Wielkie umysły dyskutują o ideach ....

Great minds discuss ideas; average minds discuss events; small minds discuss people.

~Eleanor Roosevelt

4-go października pojawiła się notka “Działanie SU(1,1) na brzegu dziedziny”. Tak się zaczynała:

Dziś tylko problem zadanko;

Grupa SU(1,1) przeprowadza brzeg dziedziny D1 w jej brzeg. Działa we wnętrzu , ale działa też na brzegu. A konkretnie:

Pokaż, że transformacja ulamkowo liniowa z poprzedniej notki

z1 = (λ* z + μ*)/(μ z + λ)

gdzie * oznacza sprzężenie zespolone, ma następującą własność:

Jeśli |z|=1 to |z1|=1.

Dziś wrócimy do tego problemu, tyle, że w ogólnym przypadku U(m,n).

Teraz Z jest macierzą mxn, działanie grupy U(m,n) ma postać

Z' = (AZ+B)(CZ+D)^-1.

Macierze A,B,C,D są odpowiednio mxm,mxn,nxm,nxn i spełniają związki grupy U(m,n):

U = {{A,B},{C,D}}, U*U = UU*= I_m+n

By łatwiej mi się pisało z klawiatury: Gwiazdki przy macierzach A,B,C,D oznaczają zwykłe sprzężenia hermitowskie:

1) A*A - C*C = AA* - BB* = I_m,

2) D*D - B*B = DD* - CC* = I_n

3) A*B = C*D, B*A = D*C,

4) BD* = AC*, DB* = CA*.

Zauważmy, że te drugie równości w dwóch ostatnich linijkach wynikają z tych pierwszych przez sprzężenie, jednak je wypisałem osobno, by były pod reką.

Nasz pierwszy cel to wyliczenie

I-Z'*Z'

Już nie będe pisał tych m czy n u dołu jedynek I. Kto chce, ten wykombinuje. Na przykład, że ta jedynka powyżej pownna być z dolnym wskaźnikiem n.

Zatem liczymy. Skoro Z' = (AZ+B)(CZ+D)^-1 , to

Z'* = (Z*C*+D*)^-1(Z*A*+B*). Zatem

Z'*Z' = (Z*C*+D*)^-1(Z*A*+B*)(AZ+B)(CZ+D)^-1

= (Z*C*+D*)^-1(Z*A*AZ+B*B+Z*A*B+B*AZ)(CZ+D)^-1

Jedynkę zapiszemy sprytnie, mianowicie jako

I = (Z*C*+D*)^-1(Z*C*+D*)(CZ+D)(CZ+D)^-1

= (Z*C*+D*)^-1(Z*C*CZ+D*D+Z*C*D+D*CZ)(CZ+D)^-1

I odejmujemy. Dostaniemy

I - Z'*Z'= (Z*C*+D*)^-1(...)(CZ+D)^-1

gdzie w nawiasie (...) grupujemy podobne wyrazy

(...)=

(Z*(C*C-A*A)Z+(D*D-B*B)+Z*(C*D-A*B)+(D*C-B*A)Z)

Korzystamy z 1) – 4) i dostajemy

(...)=I-Z*Z

Zatem

I-Z'*Z' = (Z*C*+D*)^-1(I-Z*Z)(CZ+D)^-1

I od razu widzimy, że:

jeśli I-Z*Z>0 to także I-Z'*Z'>0 oraz

jeśli I-Z*Z=0 to także I-Z'*Z'=0

To ostatnie jest rozwiązaniem i uogólnieniem zadanka wymienionego na początku notki.

Podobnie chciałem znaleźć miłe wyrażenie na I-Z'Z'*. Ale nie wyszło. Wyszedł mały koszmarek. Też prowadzący do takiego samego wyniku, ale z wielkimi trudnościami i nieelegancko. Martwi mnie to trochę. Może czegoś nie widzę? O tym jednak w kolejnej notce.

Uwaga: Te Z dla których I-Z*Z ma choć jedną zerową wartość własną tworzą brzeg topologiczny dziedziny. Te Z dla których I-Z*Z=0 tworzą tzw. brzeg Shilova. Nasz materialny wszechświat to właśnie brzeg Shilowa. Tam właśnie funkcje analityczne na dziedzinie osiągaja swoje maksima i minima. Ale to jest nieco na wyrost.

P.S. 03-11.22 I-Z'Z'* dalej się mi opiera. Dalej nie widzę. Coś "czuję", że powinno wyjść przez jakąś "dualność", ale nie jestem pewien tego czy moje "czucie" mnie nie zwodzi. Klocki sie nie układają, końce się nie schodzą. Ale nie popuszczę póki sie nie zejdą. A tu zima już nadchodzi.

P.S2. Trafiłem przypadkiem na coś takiego:

Spodobało mi się. 

PS3. Obejrzałem film "Chłopak, który czytał mapy" . Spodobał mi się.

PS4. 3-11-22 15:09 Bardzo mi "anonimowy Czytelnik pomógł swym komentarzem. I już zabieram się do pisania nowej notki z rozwiązaniem mojego problemu!