Friday, September 30, 2022

Konektory - wartości własne

The distance between insanity and genius is measured only by success.

~Bruce Feirstein

Przypomnijmy, że przy danych S,S' z S(V) konektor t(S,S') jest dostanim pierwiatkim kwadratowym z operatora SS'. Prosta i miła definicja.

Pierwiatek kwadratowy? Cóz prostszego?! A, że także miłego - za chwilę się o tym przekonamy. Macierze S,S' mają wyznaczniki równe -1. Stąd SS' ma wyznacznik 1. I tak samo t(S,S'). Wyznacznik diahonalizowalnej macierzy to iloczyn wartości własnych. Niech λ>0 będzie wartością własną SS'. Wtedy druga wartość włąsna to 1/λ. Wartościami własnymi t(S,S') będą więc √λ i 1/√λ . Wystarczy teraz znaleźć λ.

Oznaczmy przez tr ślad macierzy SS'. Ślad diagonalizowalnej macierzy to suma wartości własnych. Zatem

tr = λ +1/λ

Proste równanie kwadretowe na λ, możemy z niego wyrazić λ przez tr. Oto wynik:

λ = ½ (tr ∓ √(tr²-4) )

Teraz wystarczy jedynie znaleźć tr(SS'), podstawić do tej ostatniej formuły i mamy wynik. Tyle, że rachunki są nieco żmudne. Nie wiem jak z Tobą, ale gdy mam program komputerowy, który moż żmudną pracę wykonac za mnie, staję się bardzo leniwy. Wole i dzień zużyć na napisanie poprawnego kodu, niż poświęcić go na zapisywanie kartekm papieru i poprawianiu pomyłek.. Punktem wyjścią jest formuła na S wyrażone przez z we wnętrzu dysku:

Do Mathematica wprowadzam więc S i S', wymnażam te macierze, obliczam ślad, wyrażam lambę przez ślad. Otrzymuję wynik na pierwszy rzut oka przerażający. Drukuję sobie ten wynik na kartce papieru i przyglądam się, jakby go można było ładnie zapisać? Wreszcie zaczyna mi świtać w głowie jak pozbierac razem różne wyrazy. Zgaduję wynik, i wtedy sprawdzam, czy jest tym samym, co ten wypluty świerzo przez komputer. I oto mój wynik ostateczny:

A stąd mamy też wartości własne t(S,S')

Oczywiście sprawdziłem przedtem, że wyarażenie w liczniku jest, dla z i z' we wnętrzu dysku, zawsze nieujemne! Niedługo zobaczymy jaki jst związek tej formuły z formułą na odległość dwóch punktów dysku w nie-euklidesowej geometrii Łobaczewskiego-Bolyai.

Kolejne zadanie to znalezienie jawnej postaci konektorów. Czeka nas to zadanie.

Erudyta i mrówka

The whole secret of a successful life is to find out what is one’s destiny to do, and then do it.

~Henry Ford

Wciąż czytam “Czarnego łabędzia”. Urzeka mnie ta książka.

Czytam tam m.in:

"... Wtedy całkowicie zarzuciłem czytanie gazet i oglądanie telewizji, dzięki czemu zaoszczędziłem sporo czasu (co najmniej godzinę dziennie, a więc dość, by przeczytać ponad sto książek więcej rocznie, co po kilkudziesięciu latach zaczyna przynosić efekty)."

Hmmm... tak sobie liczę: godzina dziennie to 365 godzin rocznie. 100 książek w 365 godzin. To 3.65 godzin na książkę. Niesamowite. Ja przez trzy godziny przeczytam może 10 stron. Jestem pod tym względem całkowicie beznadziejny. Próbowałem kiedyś uczyć się techniki szybkiego czytania, ale coś mi nie szło. Nie dawało mi szybkie czytanie żadnej satysfakcji. A przecież wiem, że na tym moim powolnym czytaniu wiele tracę.

Czytam dalej w “Czarnym łabędziu”

"Zarówno Huet, jak i Bayle byli erudytami i spędzili całe życie na czytaniu. Huet, który dożył dziewięćdziesiątki, tak bardzo nie lubił tracić czasu, że służący chodził za nim z książką i czytał mu na głos podczas posiłków i przerw w pracy. Uchodził za najbardziej oczytanego człowieka swoich czasów. W tym miejscu podkreślę z całą mocą, jak ważna jest dla mnie erudycja. Świadczy ona o autentycznej intelektualnej ciekawości świata. Jest cechą ludzi o otwartym umyśle, którzy pragną analizować przekonania innych. Przede wszystkim erudyta może być niezadowolony z poziomu własnej wiedzy, a niezadowolenie owo doskonale chroni przed splatonizowaniem, uproszczeniami domorosłych menedżerów albo filisterstwem nadmiernie wyspecjalizowanego naukowca. W zasadzie wykształcenie bez erudycji może prowadzić do katastrofy."

Tak, to ja. Wykształcenie jeakieś tam niby mam, ale erudycji żadnej. Fakt, że jestem niezadowolony z poziomu mojej wiedzy, jednak wynika on w znacznej mierze właśnie z braku oczytania, z braku erudycji.

Erudycji nie mam żadnej, pocieszam się tym, że mam coś innego: upór i mrówczą pracowitość. Lubie się porównywac do samotnej mrówki. Ta mi imponuje gdy obserwuję, jak dźwiga znaleziony “skarb” (jakiś patyczek na przykład, większy od niej) uparcie pokonując przeszkody. Przewraca się, powstaje, gubi swą zdobycz, wraca by ją znaleźć i ciagnąć dalej. Imponuje mi, jest dla mnie wzorem. Chcę być jak ta mrówka.

Jednak tak sobie rozmyślam: czemu mrówka nie mogłaby wspólpracować z erudytą? Czyż nie byłoby to optymalne rozwiązanie? Erudyta chroniłby mrówkę przed niepotrzebnym błądzeniem, wskazywałby co nalezy przenioeśc i dokąd, a mrówka by nad tym wytrwale pracowała i składała części w jedną całość, biorąc na siebie ciężką i żmudną część projektu?Czy nie byłby to wspaniały “team”?

I tak trochę w przeszłości miałem. Lubiłem współpracować z erudytami. Tak powstał mój cykl prac o “wyższych wymiarach” z Robertem Coquereaux, tak powstała EEQT, z Philippem Blanchardem. Wyjatkiem potwierdzającym regułę były moje prace z matematykiem, Marco Modugno, gdzie to oboje pełniliśmy rolę i mrówki i erudyty. Marco był erudytą w jednym zakresie (koneksje, jety), ja pseudo-erudytą w innym (mechanika kwantowa).

I co mogę zatem robić teraz, nie będąc erudytą? Pozostaje Mickiewicz, który jest "sam sobie sterem, żeglarzem, okretem".

Thursday, September 29, 2022

Grupa - automorfizmy wewnętrzne

Take up one idea. Make that one idea your life—think of it, dream of it, live on that idea.

Let the brain, muscles, nerves, every part of your body, be full of that idea, and just leave every other idea alone. This is the way to success.

~SwamiVivekananda

Tego mi brakuje. Zresztą brakuje mi wielu rzeczy. Jak wspomniałem w notce o komorze hiperbarycznej czytam ostatnio trochę literatury psychologicznej. Czytam i przymierzam do siebie. Chce bowiem nauczyć się lepiej/skuteczniej siebie samego obsługiwać. Ostatnio na przykład czytałem o różnego rodzaju problemach psychologicznych i znalazłem tam parę cech, które świetnie do mnie pasują. Na przykład ta:

...

■ They usually start out with projects that they never finish. They have a tendency to jump from one project to the other without completing them.

Ta moja cecha działa wbrew przytoczonemu na początku cytatowi z Swami Vivekanandy. Chciałbym umieć się skupić na jednym, a przerzucam się z tematu na temat. A to algebry Clifforda (moja praca jest wciąż w recenzjach, niby została zatwierdzona do druku, ale gdy sprawdzam jej status widzę:

choć we wrzesniu 2021 to już była druga wersja mojej poczatkowo odrzuconej pracy), to fotony-Hawtony, to przejścia fazowe, to kwaterniony i oktoniony, to przejścia fazowe.... W ten sposób do niczego nie dojdę. A jednak chcę dojść. Więc kontynuuję dziś zaczęty temat grup. Bowiem każdy człowiek z większym od zera IQ powinien te rzeczy o których pisze wiedzieć, a sam się przetestowałem i mam IQ jednak nieco powyżej zera.

Więc temat grup i działań grup na zbiory będę dalej drążył. Grupa - niby pojęcie proste - zbiór z łącznym działaniem - na ogół nieprzemiennym mnożeniem, jednością i odrotnością. A ile tam głębi! Na temat grup są tysiące publikacji, monografii, dotąd nie rozwiązanych problemów.

Wiemy już, że każda grupa dziala na siebie - przez lewostronne mnożenie

L_a: g → ag.

Ale działa też inaczej: przez automorfizmy wewnętrzne:

A_a: g → aga^{-1}.

Będę odtąd używał czasem notacji tex-owej, gdzie np ^{-1} oznacza, że -1 jest superskryptem, zaś _a oznacza, że a subskryptem.

Podzas gdy L_a nie ma na ogół własności L_a(gg')= L_a(g)L_a(g'), to A_a ma tę własność

A_a(gg') = A_a(g)A_a(g')

co pilny Czytelnik powinien sam sprawdzić.

Dodatkowo

A_a(e) = e.

Zatem każde A_a jest automorfizmem grupy. Mówimy, że jest automorfizmem wewnętrznym, bo mogą być też inne automorfizmy grupy, nie będące powyższej postaci dla żadnego a.

Autorfizmy grupy same tworzą grupę ze względu na składanie. Przy tym dla automorfizmów wewnętznych mamy

A_a ∘ A_b =A_{ab}

Zadanie 1: Sprawdzić powyższą równość.

Jeśli H jest podgrupą grupy G, wtedy A_a(H) jest także podgrupą.

Zadanie 2: Sprawdzić powyższe.

Definicja: Podgrupa nazywa się normalną gdy L_a(H)=H dla każdego a.

Mówiliśmy poprzednio o tym, że pzrestrzeń ilorazowa G/H nie jest naogół grupą.

Zadanie 3: Sprawdzić, że G/H, z naturalną definicją mnożenia:

[a][b] = [ab]

jest grupą gdy H jest grupą normalną.

Wednesday, September 28, 2022

Dzielenie grupy przez podgrupę przestrzeń ilorazowa

If you want to achieve greatness, stop asking for permission.

~Anonymous

Niech G będzie grupą. Mamy więc w G łączne mnożenie (a,b) → ab , mamy tam jedność e, mamy operację odwrotności

a → a^-1.

Niech H będzie podgrupą. Czasami ten fakt zapisujemy jako H ≦ G, Gdybyśmy napisali tylko

H ⊂ G, oznaczałoby to jedynie, że H jest podzbiorem G. By podzbiór był podgrupą, musi być zamkniety ze względu na mnożenie elementów, i ze względu na branie odwrotności. Musi też zawierać grupową jedność e.

Tytuł: "Ekspres polarny"
Reż.: Robert Zemeckis
Premiera: 2004 rok

Mając H możemy w G wprowadzić następującą relację ∼

a∼b wtedy i tylko wtedy gdy a^-1b ∊ H.

Zadanie 1: Opierając się na definicjach i logicznym wniosklowaniu udowodnij, że

1) ∼ jest symetryczna, zatem a∼b ⇔ b∼a,

2) zwrotna a ∼ a

3) przechodnia: jeśli a∼b i b∼c to a∼c

Innymi słowy ∼ jest relacją równoważności.

Możemy więc rozważyć klasy równważności.

Klasę równoważności elementu a oznaczamy przez [a].

Jak to zwykle bywa z klasami równowazności

[a] i [b] są albo identyczne albo rozłączne.

W naszym przypadku możemy te klasy przedtawić inaczej:

Zadanie 2: Pokaż, że [a]=aH

gdzie

aH ={ah: h ∊ H}.

Zbiór klas równowążności oznaczamy przez G/H - jest to iloraz gupy przez podgrupę.

Iloraz grupy przez podgrupę sam na ogół nie będzie miał struktury grupowej. Chciałoby się zdefiniować mnożenie klas równoważności tak:

[a][b] = [ab]

Jednak nie jest to na ogół sensowna definicja. Wygląda na sensowną, ale tylko tak wyglada.

Zadanie 3: dlaczego [a][b] = [ab] nie sensowną definicją?

Sensowne jest natomiast działanie grupy G na iloraz G/H zdefiniowane jako

a[b] = [ab]

Zadanie 4: Pokaż, że jest to faktycznie działanie.

Zadanie 5: Czy jest efektywne?

Zadanie 6: Czy jest tranzytywne?

Daję to jako zadania, bowiem sam nie znam na te pytania odpowiedzi.

Tuesday, September 27, 2022

Komora hiperbaryczna i czarny łabędź

Do opublikowania tej notki namówiła mnie dziś Laura. Zapewne troche pod wpływem moich ostatnich zainteresowań specyficznymi problemami zdrowia i psychologii. Od paru miesięcy mamy w domu komorę hiperbaryczną i ją testujemy. Co to takiego? Można poczytać tutaj:

Znajdziemy tam m.in.:

Tlenoterapia działa przeciwbólowo oraz wpływa pozytywnie na procesy naprawcze w tkance kostnej, chrząstce oraz mięśniach szkieletowych.

Dzięki pozytywnemu wpływowi na dotlenienie mózgu, tlenoterapia w komorze hiperbarycznej może być stosowana u osób po urazach neurologicznych, np. wylewach, udarach. Udowodniono, że regularne zabiegi przeprowadzane w komorze hiperbarycznej pozwalają także poprawić pamięć oraz koncentrację.

Komora hiperbaryczna / tlenoterapia zalecana jest u osób, które zmagają się z przewlekłymi stanami zapalnymi, podczas infekcji bakteryjnych, grzybiczych oraz w przypadku wystąpienia różnorodnych schorzeń o podłożu neurologicznym. Tlenoterapia hiperbaryczna to także świetny zabieg skierowany do osób, które chcą poprawić pamięć, koncentrację oraz wydolność organizmu.

Z komory hiperbarycznej warto skorzystać także w przypadku odmrożenia, złamania, stłuczenia i przewlekłych chorób skóry. Tlenoterapię poleca się również w przypadkach nadciśnienia tętniczego, miażdżycy oraz po udarze mózgu.

Tlenoterapia wpływa hamująco na procesy starzenia i wspomaga regenerację komórek, dzięki czemu znalazła zastosowanie w medycynie estetycznej oraz kosmetologii.

Warto pamiętać, że seanse w komorze hiperbarycznej nie zastąpią zasadniczej terapii, odpowiedniej dla danego przypadku. Jest to jednak dobra metoda wspomagająca standardowe leczenie.

Ale to nie wszystko. Komora pomaga też w konstruktywnej przebudowie/odbudowie mózgu. Wspomaga pamięć, zdolność koncentracji - to dla mnie ważne. Ale jeśli w moim mózgu jest coś dziwacznie poukładane - też pomoże.

Popatrzmy na przykład tu:

A oto nasza domowa komora (w stanie nie-nadętym) Model 702 ,1.5 ATM:

Na youtube można znaleźć filmy opisujące wiele różnych zastosowań komory:

Na początku trzeba tylko uważać z uszami. Wzrost ciśnienia - co trwa ok. 10 minut - może powodowac bół w uszach - na co są metody - zatykamy nos i nadymamy się aż powietrze ujdzie przez uszy. I tak kilka razy w czasie wzrostu ciśnienia. Z kolei spadek ciśniena powoduje pykania w uszach. Nie powinien być zbyt szybki. Różni ludzie różnie reagują. Ja na początku miewałem ból w uszach. Teraz uszy się przyzwyczaiły.

Dr. Shai Efrati's protocol, 60 sessions in 2.0 ATM for 90 minutes produces the "fountain of youth" effect, and 180 sessions in 1.5 ATM for 60 minutes does the same.

Fontanna młodości? Podoba mi się. Mam już za sobą 97 sesji.

Niektórzy ludzie - niedowiarki, a tacy bywają, będa opierać się tej terapii. Że "nie do końca zbadana", że "to nie dla mnie". Moze i nie do końca zbadana, jednak własnie dlatego warto ją stosować.

Jakiś czas temu Czytelnik polecił mi do przestudiowania książkę Nassim Nicholas Taleb, "Czarny łabędź", o skutkach nieprzywidywalnych zdarzeń" (2014). Aktualnie ją czytam i jestem wręcz urzeczony. Jak mogłem jej dotąd nie przestudiować? Komora hiperbaryczna jest takim czarnym łabędziem. Warta ryzyka, bo bez ryzyka co warte jest życie?

Działanie grupy na zbiór

Ta notka będzie sucha.

Definicja.

Niech G i G' będą grupami. Odwzorowanie f: G → G' nazywamy homomorfizmem jeśli

1) f(e) = e

2) f(gh) =f(g)f(h)

Zatem: jedynka w G przechodzi w jedynkę w G', i obraz iloczynu jest iloczynem obrazów.

Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór tych g z G dla których f(g)=e.

Ćwiczenie 0: pokazać, że jądro homorfizmu jest pofgrupa grupy G (tzn zawiera jedynkę i jest zamnknięte ze względu na mnożenie).

Oznaczyliśmy przez Aut(X) grupę wszystkich wzjemnie jednoznacznych odwzorowań X w siebie, ze składaniem odwzorowań jako działaniem grupowym.

Definicja.

Jesli X jest zbiorem i G jest grupą, lewym działaniem G na X nazywamy homomorfizm L:G → Aut(X).

Gdy działanie L jest ustalone, zwyle piszemy ax zamiast L(a)(x). Fakt, że L jest homomorfizmem zapisujemy wtedy jako

ex=x dla każdego x

(ab)x = a(bx) dla każdych a,b z G, x z X.

Definicja:

Działanie nazywmy efektywnym jeśli z ax=x dla wszystkich x wynika a=e.

Ćwiczenie 1: Pokazać, że działanie jest efektywne wtedy i tylko wtedy gdy jądo homorfizmu L jest trywialne.

Definicja:

Niel L będzie działaniem G na X. Orbitą Ox elementu x nazywamy zbiór

Ox ={ax: a ∊ G}

Definicja: Działanie L nazywamy tranzytywnym gdy dla dowolnych x,y ∊ X istnieje g∊G takieże y=gx.

Ćwiczenie 2: pokazać, że działanie jest tranzytywne wtedy i tylko wtedy gdy Ox = X dla każdego x∊X.

Monday, September 26, 2022

Od magmy do półgrupy i grupy

Magma to zbiór wyposażony w operacje mnożenia, na ogół niełaczną. Gdy operacja ta jest łączna, wtedy taka magmę nazywamy półgrupą.

Niech G będzie półgrupą, wtedy możemy opuścić nawiasy. Skoro bowiem (ab)c=a(bc)), możemy to "słowo" zapisac po prostu jako abc.

Możemy teraz zdefiniowac "potęgi"

a¹=a

aⁿ = a a^n-1.

Łatwo wtedy się przekonać, że

a^m aⁿ = a^m+n .

(a^m)ⁿ= a^mn

Definicja: Pólgrupę G nazywamy grupą jesli posiada ona element e taki, że

1) ea=ae dla każdego a z G

oraz

2) dla każdego a z G istnieje taki b z G, że

ab = e = ba.

Ćwiczenie 0: Udowodnij, że każda grupa jest, w szczególności, półgrupą.

W grupie raźniej

Ćwiczenie 1: dla każdego a element b o własnościach 2 jest jedyny.

Oznaczmy go przez a^-1.

Ćwiczenie 2: Pokazać, że e^-1 = e.

Ćwiczenie 3: Jesli G jest grupą, zaś a jej elementem, to mamy

(a^-1)^-1. = a.

W grupie może zatem zdefiniować ujemne potegi każdego elementu

a^-n =(a^-1)ⁿ.

Ćwiczenie 4:

Jeśli G jest grupą i a₁,...,a_n są jej elementami, to

(a₁a_2...a_n)^-1 =(a_n)^-1...(a₂)^-1(a₁)^-1.

Przykład grupy: Nie X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Przez Aut(X) oznaczamy zbiór wszystkich wzjemnie jednoznacznych odwzorowań f: X → X. Wtedy Aut(X) jest grupą za względu na operację składania owzorowań fg = f∘g, gdzie

(f∘g)(x) = f(g(x)).

Dysk jako przetrzeń jednorodna I

Zaznaczam z góry, że aktualnie odchodzimy od głównego celu tej serii, którym jest model przejść fazowych. Po prostu mamy nowe auto i uczymy się je obsługiwać przed udaniem się w dłuższą drogę. Grupa SU(1,1) - to nasz przyjaciel, a z przyjacielem...

Odtąd będziemy nasz dysk, lub naszą S(V), oznaczać symbolem D₁. Skąd D? Z dwóch powodów. Ponieważ "dysk" i ponieważ "dziedzina" (ang. domain). Dziedzina a nie dziecina, choć to teraz dla nas także dziecina.

Przypomnijmy, że

SU(1,1) = {U ∈ Mat₂(C): UJU^* = J},

gdzie Mat₂(C) jest algebrą wszystkich zespolonych macierzy 2x2. Innymi slowy: SU(1,1) to Specjalna (o wyznaczniku 1) Unitarna (wzgledem <,>) grupa macierzy dla iloczynu skalarnego o sygnaturze (1,1) (jeden plus, jeden minus).

Zatem opiszemy teraz D₁ jako szczególną przestrzeń jednorodną. Wiemy już, że grupa SU(1,1) działa tranzytywnie na D₁: jeśli U ∈ SU(1,1), to znaczy, jeśli <Uu,Uv>=<u,v>, i jeśli S ∈ S(V), wtedy

USU* ∈ S(V)

Weźmy centrum dysku, tzn. z=0. Odpowiada mu S_o, gdzie S_o jest macierzą mającą na przekątnej 1,-1 i zera poza nią - macierz σ₃ Pauliego.

Naszym zadaniem jest znalezienie stabilizatory punktu . Szukamy więc wszystkich macierzy U z SU(1,1) takich, że US_oU*= S_o, lub, co na jedno wychodzi, takich, że US_o= S_oU.

Najpierw znajdźmy ogólną postać macierzy U z SU(1,1).... Tu postanowiłem znaleźć wyprowadzenie tej postaci w Internecie - znalazłem. Sam to kiedyś nawet łądnie zrobiłem - więc polecam jako dodatkowa lekturę:

SU(1,1) parametrization

Znajdujemy tam:

Czytelnik łatwo sie teraz przekona, że warunek US_o= S_oU jest równoważny warunkowi μ=0. Zatem

|λ|=1. Liczby zespolone o module 1 tworzą grupę U(1). W macierzy U (na obrazku A) mamy parę takich liczb zespolonych - na przekątnej. Przy czym ich iloczyn ma byc jedynką. Gdupętakich macierzy oznacza się symbolem S(U(1)xU(1)).

I tak znaleźliśmy podgrupę, nazwijmy ją H, grupy SU(1,1) - stabilizator punktu z=0.

W następnej notce, Dysk jako przetrzeń jednorodna II, zobaczymy, że mamy naturalny izomorfizm pomiędzy zbiorem klas równoważności w grupie G=SU(1,1) (ten ziór klas równoważności oznacza się przez G/H) a punktami dziedziny D_1:

U(1,1)/S(U(1)xU(1)) ≈ D_1.

To jest model zabawka. Powazniejszy model to byłby

U(2,2)/S(U(2)xU(2)) ≈ D_4.

W tym poważnieszym modelu byłoby rozmaitością zespolojną czterowymiarową (rzeczywistą 8-wymiarową), zaś zamiast brzegu okręgu, mielibyśmy tzw. brzeg Shilova - uzwarconą konforemnie przestrzeń Minkowskiego.

Sunday, September 25, 2022

Metryka Riemanna na dysku Poincarego

Dziś wyposażymy dysk w metrykę Riemanna. Metryka ta będzie zdefiniowana tak, że będzie automatycznie niezmiennicza względem działania grupy SU(1,1). Ta działa tak U: S-> USU*$, i tak samo transformują się wektory styczne. Niezmienniczość metryki wynika z własności śladu. Iloczyn skalarny wektorów stycznych X,Y w T_S definiujemy bowiem jako

g(X,Y) = (-1/2) Tr(XY)

Z własności śladu wynika wtedy natychmiast, że

g(UXU*,UYU*)=g(X,Y)

Jawna postać metryki, wyliczona w Rozdz. 4 pliku pdf poniżej zgadza się z formułą z Wikipedii

Link do całego pdf

Saturday, September 24, 2022

Konektory z bliska

Dopisałem dalszy ciąg konektorów. Już niedługo użyjemy ich do wprowdzenia odległości - zrobimy z dysku jednostkowego przestrzeń metryczną. Jednak nie zapominam o tym, że celem tej serii jest "model przejść fazowych", Zmierzamy ku temu, jednak krajobraz wokół jest tak piekny, że grzechem byłoby nie zatrzymywaanie się na chwile, by podziwiać widoki.

Załączam dziś poniże cały tekst.

Link do całego pdf.

Konektory i wiązka styczna

W komentarzu do poprzedniej notki pisałem o tym, że mam problemy z dowodem unitarności konektorów t(S,S'). Faktycznie, dowód podany w jednej z moich opublikowanych prac okazał się jaskrawo fałszywy. Co mnie mocno zabolało. Bowiem to taka piekna własność! Najpierw wpadłem w depresję, nijak mi sie nie udawało znaleźć jak tępiekną własność udowodnić. Jednak nie poddałem się, próbowałem na różne sposoby, aż w końcu mnie olśniło by spóbować jeszce jednego, od innej strony. I wyszło.

Zatem pierwsza część dzisiejszej notki to ten nowy dowód.

A Liwiusz prosił mnie bym uzsadnił termin"konektory". Obiecałem, ze dziś to zrobię. Jednak niw wyszło. Musiałem najpierw wprowadzić przestrzenie styczne, co zrobiłem w drugiej części. Uzasadniał będe dopiero w kolejnej notce.

Od przyszłej notki będę też dołączał link do ściągnięcia całości w pdf.

Download link.

Friday, September 23, 2022

Konektory kategoryczne

Dziś wrócimy do konektorów. Dla mnie te konektory wiązą się z czymś co w moich myślach jest "imperatywem kategorycznym". Czytam w Wikipedii, że imperatyw kategorycny to:

"Obowiązek etyczny powinien być przez człowieka spełniony dlatego, że jest obowiązkiem, a nie dlatego, że jest zgodny z naszymi chęciami, upodobaniami czy popędami. Jednostkowe pragnienia nie liczą się w zasadach moralnych"

Te konektory to nie jest moje jednostkowe pragnienie. Dzielę się nimi, bowiem jest to moim obowiązkiem!

Download pdf.

Thursday, September 22, 2022

Magma III

Tym razem wprowadzimy magmę wzorując się na definicji Wikipedii.

Definicja. Magmą nazywamy zbiór M wysposażone w operację ∙ przypisującą każdym dwóm elementom a,b zbioru M inny element a∙ b z M.

Operację ∙ nazywamy (na ogół) niełącznym mnożeniem.

Morfizmem magm M i N nazywamy funkcję f: M → N zachowującą operację ∙ : Zatem, dla x,y z M mamy:

f(x ∙_My) = f(x) ∙_Nf(y)

Tutaj ∙_Mjest mnożeniem w M, ∙_N jest mnożeniem w N.

Tak na przykład ( a∙ (b ∙ c)) jest elementem w M otrzymanym przez pomnożenie z lewej iloczynu (b ∙ c) przez a. Ponieważ mnożenie nie jest łączne – nawiasy są istotne. Natomiast często opuszczamy ∙ i nawiasy zewnętrzne. Zatem (a∙ (b ∙ c)) możemy zapisać jako a(bc). Jednak gdy to będziemy chcieli pomnożyć, powiedzmy przez d z prawej, zapiszemy wynik jako (a(bc))d.

Magma swobodna nad X.

Niech dany będzie zbiór X, skończony lub nie. Jego elementy możemy interpretowac jako “litery alfabetu”. Wygodnie nam będzie przedstawić X jako zbiór indeksowany, zbiorem indeksów I, zatem

X={x_i: i ∈ I}

Definiujemy teraz niełączne słowa indukcyjnie, ze wsględu na stopień. Każde x_i jest nielącznym słowem stopnia 1. A teraz indukcyjnie: jesli w₁,w₂ są niełącznymi słowami stopni s₁,s₂, to (w₁w₂) jest niełącznym słowem stopnia s₁+s₂. Tak więc (opuszczając te najbardziej zewnętrzne nawiasy) (x₄x₁)((x₂(x₃x₄))x₂) jest niełącznym słowem stopnia 6.

Magma swobodna nad X to zbiór wszystkich niełącznych słów wraz z mnożeniem określonym przez przywrócenie zewnętrznych nawiasów w każdym czynniku, i zestawienie czynników jeden za drugim.

Zauważmy, że nie używamy pustego nawiasu () - moglibyśmy go użyć gdybyśmy chcieli zdefiniować magmę “z jednością”. Magmę swobodną definiujemy jednak bez jedności, zatem (x₁x₂) nigdy nie jest równe x₁ lub x₂.

Czytelnik może teraz zechcieć zestawić te w miarę strawne definicje, połaczone jednak z odwoływaniem się do machania rękami (typu: dołączamy nawiasy, zestawiamy kolejno etc.) z definicją Bourbakiego, bardziej sformalizowaną. Przypomnę obrazek – drzewo genealogiczne.

Interesować nas będą teraz grupy - na samym dole, choć przede wszystkim grupy swobodne. Mnożenie w grupach będzie łączne, w grupie będzie jedność, i będzie element odwrotny do każdego. Jednak będziemy pamiętać, że fizyka przyszlości będzie prawdopodobnie oparta na działaniach niełącznych

Wednesday, September 21, 2022

Laura's view of me

Treść tej notki usunąłem na prośbę Laury.

W zamierzeniu miał to być bowiem tylko komentarz, a nie jakiś osobny, rzucający się w oczy samodzielny tekst.

Nowy początek c.d.

Po części wprowadzającej mamy do udowodnienia pierwsze Twierdzenie. W jedną stronę, tę odwrotną, dowód został już w zasadzie poprzednio podany przez jednego Czytelnika. W drugą stronę jest nieco trudniej. Wymaga "kombinowania", "wgryzania się w definicje". Nie spodziewam się zatem dowodu od któregoś z Czytelników. Podam zatem pełen dowód, w obie strony, jutro, uzupełniając dokument poniżej.

Najpierw jednak dziwnie wygladające, ale mające sens zadanie pomocnicze:

Udowodnij, korzystając z definicji, że S^S = S.

Liwiusz bardzo ładnie pokazał to w komentarzu.

I już jest dowód:

Pod koniec dowodu jest (niechciany przeze mnie) błąd. Zachęcam uważnego Czytelnika by ten błąd znalazł i poprawił.

Download pdf

Nowy początek

Próbuję dziś czegoś nowego. Zobaczymy jak będzie

Na razie nie wyszło jak chciałem..... Będę próbował aż do skutku.

13:57 - i już jest lepiej.... I będzie coraz lepiej...

14:57 - już wiem jak to się robi. I jutro będzie kontynuacja ... coraz bardziej kontynualna.

A tu można sobie ściągnąć ten dokument.

P.S. Jeszcze jedno zadanie: udowodnij, że S^S=S.

Tuesday, September 20, 2022

Metryka indefinitna zabawka - na olejno

Obiecałem sporządzenie syntetycznego obrazu krajobrazu – tego który tu ołówkiem i pędzlem maluję. Mam mniej więcej w głowie ideę tego co chce namalować, ale ta się zmienia w trakcie dodawania detali. Myślałem, że zrobię to jeszcze wczoraj, ale jakoś nie wyszło. Wczoraj i dziś wypadły mi rozjazdy.

Toulouse, France

Tak czasem, szczęśliwie rzadko, wypada. Więc tę syntezę zacznę dzisiaj. Nie wiem czy mi się uda dziś skończyć, ale spróbuję. Jest 17:40, przed chwilą wróciłem, robię sobie herbatke i zaczynam malować, najpierw szkic ołówkiem, potem olejną.

Obrazy olejne zdają się być bardziej cenione niż akwarele.

Płótnem jest zespolona przetrzeń wektorowa V=C² – przestrzeń zespolona, zbiór par (z,z') liczb zespolonych. Mógłbym wziąć płótno większe, powiedzmy C²ⁿ, n=2 lub n=4, lub wręcz dowolne n. Wiele szczegółów dałoby się z łatwością przeskalować na to większe płótno. Ale zacznijmy od małego. Wszak ma to być model-zabawka.

Już w tej zabawce, jak zobaczymy, kryje się nieskończona głębia. Trzeba tylko chcieć ją odkryć. Wtedy odkrywaniu nie będzie końca. To tak jak z fraktalem Mandelbrota: taki prosty algorytm, a tyle niespodzianek!

Wektory w V trzeba sobie wyobrażać jako wektory kolumienki. Zatem jeśli piszę u=(u1,u2), gdzie u1 i u2 są składowymi wektora u, to nalezy sobie wyobrażać kolumienkę, gdzie u2 stoi pod u1. Sprzężenie liczb zespolonych będę oznaczał *. Sprezężenie hermitowskie (transponowanie plus sprzężenie zespolone) będę oznaczał †

W naszym V mam zwykły dodatnio określony iloczyn skalarny

(u,v) = u† v = u1* v1 + u2* v2

Płótno przyszło z takim iloczynem skalarnym.

Jednak natychmiast domaliwaliśmy tam “nasz autorski ” iloczyn skalarny, indefinitny

<u,v> = u1* v1 - u2* v2 .

To jest tło dla całego obrazu. On będzie jeden, jedyny indefinitny. Tych dodatnio określonych będzie zatrzęsienie. Można będzie łatwo sie w ich gąszczu pogubić. Ten (u,v) też w tym gąszczu się znajdzie, jako jedno z nieskończonej wielości włókien wiązki – niczym sie nie wyróżniające się.

I już mamy tło. Jednak musze skoczyć do sklepu po pędzle, bo potrzebne mi nowe, zatem na dziś na razie na tym skończę.

Monday, September 19, 2022

Magma II

Przypomnijmy definicję Magmy:

Niech X będzie zbiorem. Definiujemy rekurencyjnie dla n≥1 ciąg zbiorów M_n(X) jak następuje:
Kładziemy M₁(X)=X;
Dla każdego n ≥ 2 , M_n(X) jest mnogościową sumą rodziny zbiorów M_p(X) x M_n-p(X) dla 1 ≤ p ≤ n-1
M_n(X) = ⋃_p=1^n-1 M_p(X) x M_n-p(X).
Sumę mnogościową rodziny (M_n(X))_n≥1 oznaczamy przez M(X).
M(X) = ⋃_n=1^∞ M_n(X)
Identyfikujemy przy tym każde M_n(X) z jego obrazem w M(X).

Rozważmy przykład.

Załózmy, że X jest zbiorem dwuelementowym, powiedzmy X={a,b}. Wtedy

M₁(X) = {a,b}

M₂(X) ={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}

M₃(X) ={(a,(a,a)),(a,(a,b)),(a,(b,a)),(a,(b,b)),(b,(a,a)),(b,(a,b)),(b,(b,a)),(b,(b,b)),((a,a),a),((a,b),a),((b,a),a),((b,b),a),((a,a),b),((a,b),b),((b,a),b),((b,b),b)}

I tak dalej. Cale M to suma mnogościowa M1,M2,M3, ....

Gubimy się w tym natychniast. A to dlatego, że Bourbaki stara się być boleśnie precyzyjny. Ten ból jest nam do niczego tu niepotrzebny. Ból jest potrzebny gdzie indziej - gdy na przykład chcemy zrozumieć czym jest czas i jakgo osiodłać? Dlatego w kolejnej notce zajmiemy się bezbolesną definicją magmy i zobaczymy jak ta sie ma do tej bolesnej definicji od Bourbakiego, wymagajacej wręcz psychoterapii.

A czemu Magma jest Matką Wszystkiego? Bowiem

wiele interesujących struktur algebraicznych (może nawet wszystkie?) otrzymujemy dzieląc Magmę przez różne relacje równoważności.

Magma jest ciastem, nieukształtowanym, pleromą.

Rozwiązanie zadania domowego

We wczorajszej notce Konektory unitarne postawiłem problem:

Te operatory t_1,2 to konektory łączące dusze. Co odważniejsi Czytelnicy moga nawet zechcieć znaleźć wartości własne konektorów i zobaczyć co się z nimi dzieje gdy punkty zbliżają się do brzegu.

Jeden pilny Czytelnik doniósł mi w prywatnym mejlu o podjęciu próby - numerycznego znalezienia tych wartości własnych dla konkretnego przykładu.

Oczywiście stawiając ten problem sam nie znałem jego rozwiązania. Problem wydawał się ciężki, by nie powiedzieć: beznadziejny. Jako, że takowe lubię, zabrałem się do pracy. Oto rozwiązanie:

Czytelnik może zechcieć sprawdzić na przykładach numerycznych czy się ta moja całkiem elegancka, jak mi sie wydaje, formuła zgadza z komputerowymi algorytmami znajdowania wartości własnych.

Wartości własne konektorów t_1,2 będą oczywiście (dodatnimi) pierwiastkami z powyższych.

P.S. Nie mam pojęcią jak jedno może być odwrotnością drugiego! To dla mnie zagadka. Ale tak mi wyszło, nic na to nie poradzę.

P.S. Numeryczny przykład Czytelnika zawierał błąd. Otóż, jeśli S1.S2 jest macierzą to Mathemnatica instrepretuje (S1.S2)^(1/2) jako macierz której wyrazami sa pierwiastki kwadratowe z wyrazów macierzy S1.S2. a nie jako dodatni pierwiastek kwadratowy z macierzy.

Sunday, September 18, 2022

Jak wirują planety

https://www.facebook.com/geologynotes/videos/planets-of-the-solar-system-tilts-and-spins/372135536747366/

Horror story

Woman Escapes COVID-19 Hospital Treatment Protocols, Says Others Not So Lucky

Konektory unitarne

Prolog

Algebra - algebrą, geometria - geometrią, a treść - treścią> popatrzmy na ten obrazek:

Co widzimy? Widimy urocze stworzenia. Symbol spokoju. Słodki i potulny. To dla mnie. A dla wilka? Dla wilka to poruszająca się kupka ciepłego mięsa. Niepotrzebnie ma tę wstrętna niejadalną sierść. I te uszy - tez trudno je przeżuć. Czy wilk mógłby na baranka popatrzeć tak jak my? Czy mozna wilka nauczyć tej innej perspektywy? Czy wilk może baranka pokochać, otoczyć opieką? W bajkach zapewne może. Ale w rzeczywistości?

W rzeczywistości też może - tyle, że potrzebna wilkowi chęć wiedzy i sama wiedza.

Popatrzmy teraz na ten obrazek:

Widzimy seledynowy (mam nadzieję, że tak się ten kolor nazywa) dysk. Widzimy czarny okrąg - brzeg dysku. Brzeg dysku symbolizuje rzeczywistość materialną - "trzecią gęstość". W naszym modelu zabawce to tylko "czas" (uwierzcie mi). Mamy tam dwa punkty materialne, kółka zębate, A1 i A2 - rozdzielone czasem. Nic o sobie nie wiedzą. Jeśli jednak wyjdą, choć tylko nieco, poza czas, w geometrię wnętrza dysku, ich "dusze", oznaczone jako serduszka, S1 i S2 mogą się połączyć "konektorem". Dzisiaj te konektory zbudujemy. Algebraicznie.

Konstrukcja konektora.

W poprzedniej notce z każdym z we wnętrzu dysku związaliśmy symetrię S, a z każdą taką symetrią dodatnio określony iloczyn skalarny < , >_S w C².

Twierdzenie 1:

Dla dowolnych dwóch punktów z₁,z₂ we wnętrzu dysku operator S₁S₂ jest hermitowski dodatni zarówno względem iloczynu skalarnego < , >S₁ jak i < , >S₂.

Twierdzenie 2.

Operator t_1,2 zdefiniowany jako (S₁S₂)^1/2 jest unitarny względem < , >

Dowody tych twierdzeń są proste prościutkie. Pozostawiam je jako zadania domowe dla licealistów.

Saturday, September 17, 2022

Dodatniość w małżeństwie

W notce Dodatniość i ujemność opisałem moje cechy ujemne. Dodatnią u siebie znalazłem tylko jedną: pracowitość.

Pokazałem to Laurze.

Nie była zbyt zadowolona z tego, że piszę publicznie o moich cechach ujemnych. Rozumiem to oczywiście. Jednak jako, że jestem pracowity, przeanalizowałem też pod tym kątem Laurę. Rezultat mnie zaskoczył: znalazłem u Laury same tylko cechy dodatnie i ani jednej ujemnej:

Asertywność – bez wątpienia, tego mi brak i tego się bez przerwy od Lauryuczę.

Bezinteresowność (altruizm) – ach, jeśli ktoś jest w potrzebie pomaga Laura komu tylko może

Dokładność – każdą zmarszczkę poprawi, wszystko w pudełeczkach posortuje

Dobroduszność – troszczy się o wszystko i na wszystkich, patrzy z wyrozumiałością

Empatia – czuje bół innych – w przeciwieństwie do mnie

Gościnność – gdy ktoś nas odwiedza, a tego kogoś o coś podejrzewa, mnie wysyła by się takim kimś zajął. Sama robi dobrą minę do złej gry.

Grzeczność – nie klnie, co mi się czasem zdarza

Komunikatywność – och, jak pięknie i jasno mówi, wykłada, uzasadnia

Lojalność – Wiem o tym z pierwszej ręki

Obowiązkowość – przypomina mi stale, że dziś dzień na gimnastykę etc.

Pomysłowość – niesłychana. Gdy ja nie mam pomysłu jak dany problem rozwiązać – Laura zawsze występuje z jakąś trafną ideą.

Pracowitość - przewyższa nawet moją.

Punktualność – może nie najwyższej klasy, ale jednak

Samodzielność (zaradność) – na szóstkę z plusem

Sumienność – gdy się do czegoś zabierze, nie spocznie, póki tego nie zrobi

Szczerość - och, czasem nawet do przesady

Troskliwość – znam to doskonale. Troszczy się o omnie, o kota, o psy, o potrzebujących troski

Uczciwość – ogromna, w stosunku do tych, którzy na nią zasługują

Uprzejmość – w stosunku do tych, którzy na nią zasługują

Wiarygodność – Można na Niej polegać. Nie rzuca słów na wiatr.

Wielkoduszność – w stosunku do tych, którzy na nią zasługują

Wyrozumiałość – w stosunku na przykład do moich licznych cech ujemnych

Zdyscyplinowanie – chciałbym tak być zdyscyplinowanym

Życzliwość – Martwi się o innych w potrzebie

Po uważnej analizie znalazłem jednak u Laury jedną cechę klasyfikowaną jako ujemna: Niecierpliwość. Ta się czasem przejawia. Gdy jakiś proces trwa, Jej zdaniem, za długo, zaczyna się niecierpliwić, frustrować. Nie tak znów przesadnie, ale jednak. Ja niecierpliwości nie klasyfikowałbym jednak jako cechy czysto ujemnej. Przeciwnie, uważam, że samemu mi jej brakuje. Zbyt cierpliwy jestem. Czasami powo\inienem się unieść, nakrzyczeć, zezłościć, rzucić w kąt te rzeczy mniejszej wagi i skupić się na tym, co istotne. Tego sie jeszcze od Laury muszę nauczyć.

P.S. Bedąc cynikiem dałem Laurze link do tej strony. Przeczytała i zapytała: "Jeśli jesteś tak zły a ja taka dobra (sądząc po twojej ocenie), jak wyjaśnimy to, że cie tak bardzo kocham?"

Faktycznie zagadka....

Friday, September 16, 2022

Wiązka iloczynów skalarnych

Jest ta notka dzisiejsza kolejna z serii "Przejścia fazowe model zabawka". Jednak tej serii i tak nikt nie czyta, piszę ją sobie a muzom, zatem nie ma znaczenia jakim tytułem notkę opatrzę. Lubię wiązki.

Każda przestrzeń ilorazowa jest wiązką - jak się na to właściwie popatrzy. Każda klasa abstrakcji jest włóknem - jak się na to właściwie popatrzy. Zbiór klas abstrakcji, czyli iloraz, jest bazą.

Dla nas bazą aktualnie jest jednostkowy dysk otwarty na płaszczyźnie zespolonej. Z każdym punktem z z tego dysku związaliśmy najpierw "projektor" E_z, a potem "symetrię" S_z = 2E_z-1. Nawet jawnie postać tego S_z wypisaliśmy:

Dla z=0 mamy środek dysku jednostkowego - cetnrum. Czemu jest równe to S₀?

Otóż S₀ = J, jak ktoś pamięta macierze Pauliego J=σ₃, to jest ta macierz definiująca nasz indefinitny iloczyn skalarny

<ξ,ξ'> = (ξ,Jξ')

gdzie ( , ) jest "zwykłym iloczynem skalarnym w C².

Teraz z każdą symetrią S zwiążemy nowy iloczyn skalarny, będziemy go oznaczać < , >_S:

<ξ,ξ'>_S = <ξ,Sξ'>.

Iloczyn skalarny związany w ten sposób z S_z będziemy oznaczac po prostu < , >_z.

Zadanie domowe: Udowodnij, że zachodzi następujące

Twierdzenie: Dla każdego z, |z| <1, iloczyn skalarny < , >_z jest dodatnio określony.

P.S. W ciagu ostatnich trzech dni trzy razy zmieniałem detkę w rowerze, a dziś przy bezwietrznej pogodzie zwalił nam się dąb:

Thursday, September 15, 2022

Dodatniość i ujemność

Miałem dziś pisac o dodatniości w przestrzeni o metryce indefinitnej - dalszy ciąg serii notek o przejściac fazowych. Ale jakoś mi nie wyszlo i zainteresowałem się dodatnimi i ujemnymi cechami charakteru. Możemy je znaleźć wyliczone tutaj.

Z dodatnich

Asertywność Bezinteresowność (altruizm) Dokładność Dobroduszność Empatia Gościnność Grzeczność Komunikatywność Lojalność Obowiązkowość Pomysłowość Pracowitość Punktualność Samodzielność (zaradność) Sumienność Szczerość Troskliwość Uczciwość Uprzejmość Wiarygodność Wielkoduszność Wyrozumiałość Zdyscyplinowanie Życzliwość

znalazłem u siebie jedyni jedną:

Pracowitość.

Natomiast ujemnych

Agresja Arogancja Bezczelność Bezmyślność Bezwzględność Chamstwo Chciwość, chytrość Cynizm Despotyzm Duma Egocentryzm, egoizm Fałszywość Fanatyzm Gadulstwo Gnuśność Grubiaństwo Gwałtowność Hipokryzja Impulsywność Kłótliwość Konformizm Lekkomyślność Lenistwo Łakomstwo Łatwowierność Małostkowość Mściwość Niecierpliwość Nieczułość (brak empatii) Nieszczerość Obłuda Okrucieństwo Opryskliwość Pogarda Podejrzliwość Porywczość Rozrzutność Roztargnienie Skąpstwo Tchórzostwo Uległość Wścibstwo Wulgarność Wyrachowanie Zachłanność Zarozumiałość Zrzędliwość

znalazłem u siebie sporo:

Arogancja - bywam taki

Bezmyślność - zdarza mi się dość często

Bezwzględność - o tak, bywam taki

Despotyzm - i to mi się zdarza

Egocentryzm, egoizm - faktycznie, przejmuję się sobą, ta notka jest jednym z tego dowodów

Hipokryzja - krytykuję za to innych, ale sam też nie jestem bez winy

Konformizm - jak wyżej

Łakomstwo - znam to

Łatwowierność - u mnie łączy się z podejrzliwością

Nieczułość (brak empatii) - o, jeszcze w jakim stopniu

Nieszczerość - zarzucano mi to wielokrotnie i słusznie

Okrucieństwo - tak też bywa

Podejrzliwość - patrz Łatwowierność

Roztargnienie - bywa, ze szukam okularów, które mam na własnym nosie

Skąpstwo - jeśli coś juz kupuję, to jak najtaniej

Tchórzostwo - w obliczu niebezpeczeństwa zwykle tchórzę, uciekam od odpowiedzialności

Wścibstwo - faktycznie, chcę wszystko o wszystkich wiedzieć

Wyrachowanie - inaczej nie umiem

Pozostawiam Czytelnikom uzupełnienie tej listy, bo jestem pewien, że nie wszytskie me istotne wady wymieniłem. Co więcej: zapewne te najistotniejsze umknęły memu oku!

W jutrzejszej notce z wyrachowania napisze o dodatniości algebraicnej

Algebraiczna Magma

Magma jest gorąca. Z Wikipedii:

“W zależności od jej składu chemicznego i zawartości rozpuszczonych w niej gazów, temperatura magmy wynosi zazwyczaj od ok. +650 do ok. +1250 °C. “

I dalej

“Magma może przeciskać się przez warstwy skorupy ziemskiej tworząc intruzje plutoniczne oraz wydobywać się na powierzchnię Ziemi jako lawa. Z krzepnącej magmy/lawy powstają skały magmowe – plutoniczne, wulkaniczne i żyłowe. “

Jest wszakże też inna magma. Ta może się też przeciskać – przez warstwy czasu. Tej jednak w polskiej Wikipedii nie znajdziemy. Musimy siegnąć do angielskiej.

Znajdziemy tam całe potomstwo Matki Magmy. U samego dołu mamy grupy – to najbardziej wyspecjalizowane dzieci Magmy.

Czym zatem jest Magma? Moglibyśmy pójść za definicją z Wikipedii. Wybierzemy jednak ambitniejszą drogę. Pójdziemy za Bourbakim.

Znajdujmy tam rozdział “Magmy wolne”. Poczytajmy zatem.

X jest zbiorem. Definiujemy rekurencyjnie dla n≥1 ciąg zbiorów M_n(X) jak następuje:

Kładziemy M₁(X)=X;

Dla każdego n ≥ 2 , M_n(X) jest mnogościową sumą rodziny zbiorów M_p(X) x M_n-p(X) dla 1 ≤ p ≤ n-1

M_n(X) = ⋃_p=1^n-1 M_p(X) x M_n-p(X).

Sumę mnogościową rodziny (M_n(X))_n≥1 oznaczamy przez M(X).

M(X) = ⋃_n=1^∞ M_n(X)

Identyfikujemy przy tym każde M_n(X) z jego obrazem w M(X).

To M(X) satnie się wkrótce Magmą. Ale zanim to zrobimy, będziemy musieli wpierw pojąć o co idzie w tej definicji. Bo niby precyzyjna, ale jakoś nie trafia do wyobraźni. Tak to już jest z matematyką: jedna rzecz to znać definicje, inna – to je rozumieć. O tym w następnych notkach.