Rozwiązanie problemu z notki "Geodezyjne na dysku Poincarégo I"

 W "Geodezyjne na dysku Poincarégo I" napisałem coś takiego:

Lemat: Dla dowolnych pary różnych punktów z,z' na dysku istnieje element g grupy SU(1,1) taki, że

gz=0

gz'= x+0i, gdzie x>0

Dowód:

Dowód jest elementarny gdy użyjemy tego co już wiemy. Pozostawiam jako zadanie domowe dla uważnego Czytelnika. 

To było przed trzema tygodniami. Trochę wody w międzyczasie upłynęło. Czekałem, czekałem. W końcu postanowiłem sam zostać tym uważnym czytelnikiem i dziś przedstawię rozwiązanie w pełnej ogólności, w sygnaturze (n,m), a nie tylko (1,1) jak to było na początku. Bowiem czas nie stoi w miejscu, płynie do przodu, czasem się cofa - jak dziś rano, gdy przestawiałem wskazówki w zegarach w domu. Bo zegarów mam całe mnóstwo.

Najpierw ilustracja do notki. Zamieszczam ją już teraz, dla niecierpliwych nie mogących spać Czytelników.

I będę pisał wyjaśnienia i w miarę pisania tę notkę uzupełniał.

Wyjaśnienia do obrazka.

Zielony dysk obrazuje dziedzinę D w (m+n) wymiarowej przestrzeni zespolonej C^n+m

Dziedzina D jest ograniczona ("bounded domain") - jej punktami są macierze prostokątne Z mxn (m wierszy, n kolumn) , spełniające ograniczenie:

Z*Z < I_m

lub, co na jedno wychodzi:

ZZ*< I_n

W przypadku (1,1) mielibyśmy po prostu |z|< 1. W przypadku ogólnym macierze Z i Z* nie są na ogół ze sobą przemienne, więc trzeba uważać na kolejność.

W D mamy dwa różne punkty Z i Z'. Król Z i królowa Z' - jeśli ktoś woli mieć przed oczyma konkrety.

Skupmy najpierw uwagę na krółu, t.j. na Z. Mamy do dyspozycji konektor t(0,Z). 

Postać jawną tego konektora wyliczyliśmy na samym końcu pliku pdf dyskutowanego w notce 

Ogólny Przypadek U(m,n) - Część II.

Konektor działa na Z przez transformację ułamkowo liniową (AZ+B)/(CZ+D) (poprawniej:

(AZ+B)(CZ+D)^{-1} ) i przeprowadza Z w 0. Działa też na Z' i przeprowadza to Z' w jakieś Z''.

Teraz król jest w centrum dysku, jak na króla przystało, królowa znalazła się w punkcie Z''.

To jedna transformacja. Złożymy ją z kolejną, obracając cały wszechświat - t.j. dziedzinę D, wokół króla. Zauważmy, że transformacja z B=C=0 przeprowadza 0 w 0. Taką transformację teraz zastosujemy. Z podgrupy U(m)xU(n) ⊂ U(m,n).

A konkretnie jaką?

Przyjrzyjmy się królowej - t.j. macierzy Z''. Odwołamy się do notki Lemat prostokątny z użyciem SVD. Tam znajdziemy:

.. tzw. Singular Value Decomposition Theorem (SVD), które to twierdzenie przytoczę dosłownie z Wikipedii (angielskiej):

SVD Theorem

Specifically, the singular value decomposition of an  complex matrix M is a factorization of the form  where U is an  complex unitary matrix,  is an  rectangular diagonal matrix with non-negative real numbers on the diagonal, V is an  complex unitary matrix, and  is the conjugate transpose of V. Such decomposition always exists for any complex matrix.  

My zamiast Σ będziemy używać symbolu Λ, zamiast M będzie u nas Z. Zatem nasz rozkład będzie postaci

Z = UΛV*

Użyjemy tego SVD by rozłożyć na czynniki królową, aktualnie Z''. Niech zatem 

Z'' = UΛV*

Z macierzy U i V budujemy macierz blokową, powiedzmy U z blokami

A = U*, B = C= 0, D = V*

Zatem  U = 

U* 0

0  V*

Macierz ta należy do U(m) x U(n) ⊂ U(m,n). Działamy tą macierzą na królową Z''. Obracamy ją wokół króla. Przechodzi w jakieś Z'''.

Z''' = (AZ''+B)(CZ''+D)^{-1}=(U*(UΛV*))(V*)^{-1}= U*UΛV*V = Λ

Król pozostaje w centrum, królowa staje się diagonalna (na ile ją na to stać, bowiem jest prostokątna) i nieujemna. Nie mogę powiedzieć, że jest dodatnia, bowiem Λ może mieć jakieś zera na przekątnej. Ale nie same zera! Gdyby miała same zera, zlałaby się z królem, co jest u nas niedopuszczalne, bowiem załoąyliśmy na początku, że mamy dwa różne punkty Z,Z'.

Podsumowując: złożenie (iloczyn macierzy) U∘t(0,Z) jest macierzą z U(m,n) rozwiązującą nasz problem.

Do tego dochodzą teraz jeszcze dwie uwagi rozjaśniające (lub zaciemniające?) całą sprawę. 

1) Rozkład SVD nie jest  jednoznaczny. Nam to nie przeszkadza, ważne jest, że taki rozkład istnieje. By zobaczyć niejednoznaczność weźmy prosty przykład. Przypuśćmy, że m=n, i że Z, które rozkladamy jest proporcjonalne do macierzy jednostkowej Z= a I, |a|<1. Wtedy

Z = U aI U* dla dowolnego unitarnego U.

2) Ten środek dysku, punkt 0, nie jest tak naprawdę wyróżniony. Dowolny punkt wewnątrz dysku możemy uczynić jego "środkiem"  wybierając odpowiednią bazę. Rzecz w tym, że wystartowaliśmy, by było mnie abstrakcyjnie, od X=C^(m+n), czyli od konkretnej realizacji (m+n)-wymiarowej przestrzeni liniowej zespolonej. Tam jest uprzywilejowana baza ortonormalna, uprzywilejowane J_0. Moglibyśmy jednak wystartować od ogólnej przestrzeni z indefinitnym iloczynem skalarnym < , > o sygnaturze (n,m). Każde J moglibyśmy wziąć jako J_0. Zamiast macierzy rozważalibyśmy wtedy operatory liniowe. Przy wyborze bazy operator jest reprezentowany przez macierz. Z macierzami raźniej. Z operatorami bardziej abstrakcyjnie. Dobrze jest bawić się macierzami, ale też dobrze wiedzieć, że tak naprawdę D jest przestrzenią jednorodną: nie ma tam uprzywilejowanych punktów. Innymi słowy: trzeba umieć abstrahować, zapominać, gdy trzeba,  o tym co nie jest istotne. Skupiamy się na tych własnościach, które są niezmiennicze ze względu na działanie grupy U(m,n). Tak Feliks Klein zdefiniował "geometrię" - to badanie tych własności, które są niezmiennicze ze względu na działanie danej grupy.

I Ching - Naczynie ofiarne

 No i rzuciłem dziś I Ching. Najpierw przemyłem w occie monety, by się pozbyć nalotu i śniedzi. I tak wyszło:

Hexagram 50, 

zmienne linie tym razem aż cztery: 1,3,5,6

Ta pierwsza jakaś dziwna:  

Linie1. (6 pkt) Naczynie ofiarne przewrócone do góry dnem. Dobrze jest oczyścić je z  zaschniętego pokarmu. Przyjmuje kobietę razem z jej dzieckiem. Nie ma winy. Dobrze jest zrobić istotne porządki w swoim otoczeniu i życiu. Moż­na  bez obawy zadbać o swoje sprawy osobiste. Tutaj obca krew nie zagraża. 

Może to nie dla mnie ta wróżba?

Taki komentarz znajduję w grubej księdze Wilhelm/Baynes I Ching or The Book of Chnages:

LINIE

Sześć na początku:

a) Ting z wyciągniętymi do góry nogami.

Przyspiesza usuwanie zastałych rzeczy.

Bierze się konkubinę dla dobra jej syna.

Nie ma winy.

b) "A ting with legs upturned." To nadal nie jest złe.

"Przyczynia się do usunięcia stagnacji", aby być w stanie

podążać za człowiekiem wartościowym.

Linia na dole oznacza nogi tinga.2 Ponieważ linia jest słaba

i stoi na początku, wynika z tego, że przed gotowaniem

należy odwrócić ting do góry nogami, aby wyrzucić stare resztki jedzenia.

Linia ta jest połączona poprzez pozycję z centralną i silną linią

obok niej; stąd idea konkubiny (słabej i podporządkowanej).

Albo jeszcze inna wersja:

LINIE ZMIENNE: (podpowiadają Ci jak postąpić a czego unikać, aby sytuacja przyjęła sprzyjający obrót)
I (6) Ting przewrócono do góry dnem. Korzystne jest usunięcie zastygłego pokarmu. Przyjmuje konkubinę ze względu na syna. Bez winy. Komentarz: Ting jest użyty niewłaściwie i poniżony, ale w każdej chwili można go użyć w szlachetnym celu. Żyjący w upokorzeniu może poprawić swą sytuację, oczyszczając się aktem woli. Nie wolno popadać w zwątpienie. 

Tak czy siak zrobię porządki. O wymiarach dopiszę tutaj dziś później.

A póki co:

Megyn Kelly rozmawia z RFK, Jr: Jak Pfizer zabił Komisję Bezpieczeństwa Szczepionek + Więcej

W dwugodzinnej rozmowie w zeszłym tygodniu Megyn Kelly, dziennikarka, prawniczka i komentatorka polityczna, oraz Robert F. Kennedy, Jr. omówili szeroki zakres tematów, w tym cenzurę i jak darowizna Pfizera w wysokości 1 miliona dolarów dla byłego prezydenta Trumpa zabiła komisję bezpieczeństwa szczepionek Trumpa.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

A teraz trochę logicznego rozumowania w oparciu o wniosek z dokumentu pdf z poprzedniej notki.

Wyglądać to będzie jak sztuka dla sztuki. Nie sobie, póki co, tak wygląda. Licza się wyniki. I tylko one.

Pytanie stawiam sobie takie: czy dwa J, powiedzmy J i J' moga zes oba komutowac? Czy może być JJ' = J'J? Może się tak zdarzyć czy nie może?

Rozumujemy od końca. Przypuśćmy, że tak jest? Co z tego, z takiego założenia wynika?

Jeśli tak jest, to i pierwiaski kwadratowe z nich są równe, prawda. Czy li konektory t(J,J') i t(J',J) są równe. Ale pokazaliśmy już przedtem, że t(J',J)=t(J,J')^{-1}. Z tego by wynikłao, że

t(J,J')=t(J,J')^{-1}

Czyli byłoby

t(J,J'))^2=I

Ale t(J,J')^2=JJ'

Czyli JJ'=1.

Czyli J=J'

Czyli żadne dwa różne J-ty nie komutują.

No dobrze, i co z tego? Wielkie mi coś?

A wielkie. Gdy się ma wiedzę.  Gdy się ma wiedzę, można z róznych faktów wyciągać wnioski. Gdy się wiedzy nie ma, fakty będą przemykoać mimo nas, wiatr je będzie unosił.

O jakiej wiedzy mówię?

J-ty należą do U(m,n). Są symetriami. Co więcej, ich kwadrat jest równy I. Czyli są jakimiś "odbiciami"

Każdy operator unitarny U "działa" na naszą przestrzeń J(X_{m,n}). Kręci nią jakoś

U: J'  → UJ'U*

W szczgółności za U możemy wziąć jakieś ustalone J. Jakieś nasze "odbicie". Będzie odbijać:

J: J'  → JJ'J*= JJ'J

Czy to nasze odbicie ma jakieś punkty stałe? Kiedy

JJ'J = J' ?

Gdy JJ'=J'J

A to jest możliwe tylko gdy J'=J.

Zatem każde nasze odbicie ma tylko jeden, izolowany, punkt stały. Jest nim samo J.

I teraz przychodzi  "wiedza". Zagladamy do sieci. Znajdujemy stronę:

Symmetric spaces and Lie groups

I tam znajdujemy:

No i już wiemy, że nasza rozmaitość jest przestrzenią symetryczną.

Mam metrykę Riemanna. Definiujemy ja tak samo jwk to zrobiliśmy w przypadku (1,1). Jest także rozmaitością Kahlera - ale o tem potem. O takich przestrzeniach są całe tomy. To cała gałąź matematyki.

Dobrze jest wiedzieć, że to czym się zajmujemy zostało sklasyfikowane, ma swoją nazwę, ma swoja literaturę. Widać jest do czegoś przydatne. I będzie nadal potrzebne. Nie ma naprawdę nic piękniejszego. 

Ogólny Przypadek U(m,n) - Część II

 

No i wyrachowałem J_Z w ogólnym przypadku

Cały tekst, z rachunkami:

Mogą tu być jeszcze pomyłki i literówki.

Następny krok: Wyliczyć jawną postać konektora łączącego ogólne Z z 0. To już  jest ambitniejsze zadanie. O ile wiem, nikt dotąd tego nie zrobił. A bez tego antygrawitacji nie będzie.

O innych zastosowaniach można poczytać tutaj:

The Quantum Dynamics of Two-component Bose-Einstein Condensate: an Sp(4, R)

Symmetry Approach (25 Sept. 2022)

gdzie cytowany jest m.in mój artykuł napisany we współpracy z Robertem Coquereux. Występuje w tej pracy grupa SU(1,1) i dysk Poincarégo. O "stanach koherentnych", które ważną rolę tam grają, jeszcze dotąd nie rozmawialiśmy.

Tymczasem w USA koherencji nie ma:

Rep. Claudia Tenney, R-N.Y., dołączyła do programu "Sunday Morning Futures", aby omówić zdolności poznawcze prezydenta Joe Bidena po tym, jak jego ostatni wywiad z nim spowodował, że niektórzy krytycy zastanawiają się nad jego zdolnością do pełnienia funkcji. Tenney ostrzegła, że pytanie jest "poważne", argumentując, że nie jest on "wystarczająco kompetentny", aby być prezydentem Stanów Zjednoczonych po tym, jak pojawił się w strefie podczas wywiadu MSNBC w ten weekend.

... BIDEN CIERPI NA "DEFICYT PŁATA CZOŁOWEGO"

.. i naprawdę, przyłączyłam się do listu z kongresmenem Randym Jacksonem o poddaniu go testowi poznawczemu...

 

Cenzura w USA

 Polecam FoxNews:

Something Strange is Happening at Amazon

Wydana przez nas Ponerologia Polityczna Andrzeja Łobaczewskiego też trafiła na czarną listę Amazon!

Zatem szerzy się cenzura nie tylko w Polsce.

Cenzura we Francji:

https://twitter.com/BFMTV/status/1582799289486823424

THE BROADCAST OF A JOURNALIST FROM FRANCE WAS CUT OFF WHEN SHE STARTED TALKING ABOUT THE CRIMES OF UKRAINE

 P.S. Przy okazji polecam z "Myśl Polska":

 dr Leszek Sykulski: „Jesteśmy zderzakiem USA” 

I jeszcze polecam:

"Dopóki nie zostanie udowodnione inaczej, prawdopodobnie szczepionki Covid mRNA odegrały znaczącą rolę we wszystkich niewyjaśnionych zawałach serca od 2021 roku" - znany kardiolog 

Lemat prostokątny z użyciem SVD

 Przytoczę najpierw ciekawy tekst z Wikipedii:

Lemat (z gr. λημμα, lēmma – założenie) – twierdzenie pomocnicze, którego głównym zastosowaniem jest uproszczenie dowodów innych, bardziej istotnych twierdzeń. Formalnie każdy lemat jest pełnoprawnym twierdzeniem, a zaklasyfikowanie pewnego twierdzenia jako lematu wynika jedynie ze sposobu jego użycia w innym, obszerniejszym kontekście.

Często zdarzało się, że lemat zyskiwał sobie o wiele większe znaczenie od pierwotnego, znajdując szersze zastosowanie i stając się w zasadzie samodzielnym twierdzeniem, którego nazwa wynika z uwarunkowań historycznych.

Do twierdzeń tradycyjnie nazywanych lematami należą m.in.:

• lemat Bootha
• lemat Ogdena,
• lemat Königa,
• lemat Lindenbauma,
• lemat Riemanna,
• lemat Kuratowskiego-Zorna,
• lemat o pompowaniu dla języków bezkontekstowych,
• lemat o pompowaniu dla języków regularnych,
• lemat Barbălata,
• lemat Jordana,
• lematy Borela-Cantellego,
• lemat Poincarégo.

I ta notka będzie o Lemacie. Ten Lemat i jego dowód dodałem do dokumentu pdf z poprzedniej notki. Uaktualniony dokument do ściągnięcia z tego samego linku. Tutaj jednak omówię pewien "techniczny detal" - bez tego dowód lematu będzie dla krytycznego Czytelnika niezrozumialy. Bezkrytyczny czytelnik to przełknie, tak jak i ja przełknąłem za pierwszym razem. Przełknąłem, bowiem dowód tego lematu nie jest mój. Wziąłem go z monografii L. K. Hua, "Harmonic Analysis of Functions of Several Complex Variables in the Classical Domains", AMS 1965.

Rzecz jest niezależna od całej reszty, więc i cały ten lemat zaprezentuję niezależnie od pozostałych notek. Oto odpowiedni fragment z dokumentu pdf:

Rzecz dotyczy macierzy prostokątnych mxn, gdzie m,n ≥ 1. Dowód lematu wykorzystuje tzw. Singular Value Decomposition Theorem (SVD), które to twierdzenie przytoczę dosłownie z Wikipedii (angielskiej):

SVD Theorem

Specifically, the singular value decomposition of an ${\displaystyle \ m\times n\ }$ complex matrix M is a factorization of the form ${\displaystyle \ \mathbf {M} =\mathbf {U\Sigma V^{*}} \ ,}$ where U is an ${\displaystyle \ m\times m\ }$ complex unitary matrix, ${\displaystyle \ \mathbf {\Sigma } \ }$ is an ${\displaystyle \ m\times n\ }$ rectangular diagonal matrix with non-negative real numbers on the diagonal, V is an ${\displaystyle n\times n}$ complex unitary matrix, and ${\displaystyle \ \mathbf {V^{*}} \ }$ is the conjugate transpose of V. Such decomposition always exists for any complex matrix.  

My zamiast Σ będziemy używać symbolu Λ, zamiast M będzie u nas Z. Zatem nasz rozkład będzie postaci

Z = UΛV*

A żeby było konkretniej rozważymy przykład m=2, n=3

Macierz Λ będzie  2x3. Ma być "diagonalna". Będzie więc postaci

Λ =

λ1 0 0
0 λ2 0

Przy tym λ1,λ2 ≥ 0

Wtedy Λ* będzie

Λ* =

λ1 0
0 λ2
0 0

Stąd

ΛΛ*=

(λ1)^2    0
0         (λ2)^2

 Λ*Λ=

(λ1)^2    0         0
0         (λ2)^2    0
0            0         0

W dowodzie lematu występują macierze I_2 - ΛΛ* oraz I_3 - Λ*Λ

Te bedą postaci 

I_2 - ΛΛ* =

1-(λ1)^2    0
0        1- (λ2)^2

 I_3 - Λ*Λ = 

1-(λ1)^2    0        0
0        1- (λ2)^2   0
0            0            1

W dowodzie lematu występują wyznaczniki obu tych ostatnich macierzy. Widać, że

det (I_2 - ΛΛ*) = det ( I_3 - Λ*Λ) = (1 - (λ1)^2) (1 - (λ2)^2)

P.S. By mi rozświetlić dzień przyszła dziś kolejna recenzja mojej pracy o algebrach Clifforda (praca nad tym trwa już u mnie cztery lata). Praca jest "w zasadzie przyjęta" do publikacji. Recenzent jednak domaga się przedtem "minor revisions". Tak zaczyna:

"I hoped that the examination of this revised version would reveal only some futile defects that would need an immediate correction without requiring another examination of the text. Unfortunately, I discovered that the Author had made two questionable modifications that did not satisfy me, and that he had forgotten to correct some defects that did not at all look futile."

Po czym następują trzy bite strony uwag i formuł matematycznych co mam zmienić i jak, a kończy się ta recenzja wielce zachęcająco 😁:

"The Author is kindly advised not to make any modification outside the places that have been mentioned by a referee.":

A gdzie tu konstytucyjna wolność słowa i wypowiedzi?

A oto przykładowo jak się zaczynają te uwagirecenzenta:

"1. Niektóre miejsca wymagające rewizji

1.1. Propozycja 3.6, strona 25

W moim poprzednim raporcie przypomniałem sobie moją niechęć do dowodu z Wniosku 3.6., i natychmiast oświadczyłem, że dla mnie jest już za późno na wznowienie dyskusji (przedstawionej już w poprzednim raporcie). dyskusję (przedstawioną już w poprzednim raporcie). Oznacza to, że również dla Autora, jest za późno na dokonanie modyfikacji. Mimo to, zamiast "Proposition 3.6", napisał "Uwaga 13.6". Niestety, nie jest to uwaga, która tylko wnosi dodatkowe informacje, jest to jedyne w swoim rodzaju stwierdzenie, które uzasadnia poprzedzające wyjaśnienia i definicje. Czytelnicy zrozumieją ją tylko jeśli zostanie ono przedstawione jako "Propozycja 3.6", a w chwili obecnej czytelnicy mają pierwszeństwo. Przypominając swoją niechęć, zaprosiłem jedynie Autora do ponownego rozważenia tej kwestii jeśli odnowi swoje badania w przyszłości."

A oto kolejny fragment:

"1.2. Przypis 32, strona 29 Tego przypisu nie było jeszcze w poprzedniej wersji. Przypominam sobie, że brak wyjaśnień w dowodzie Corollary 3.9 sprawił, że byłem już niezadowolony. Teraz zauważam, że sam Autor przyznaje, że dodatkowe wyjaśnienia byłyby byłyby mile widziane. Nie jest jednak rozsądne próbować poprawić zbyt zwięzły dowód za pomocą za pomocą niejasnego przypisu. Po pierwsze, słowa "w charakterystyce 2" prawdopodobnie oznaczają "w charakterystyce innej niż 1" prawdopodobnie oznaczają "w charakterystyce innej niż 0". Po drugie, słowa "wszystkie wyższe komutatory" odnoszą się do komutatorów, których Autor nigdy nie napisał. Jeśli Autor będzie miał trochę litości dla swoich czytelników, to będzie łaskaw pokazać im te komutatory:" 

I tak dalej leci:

Page 3, line 8 : λ F ( 1 ) = 1

Page 4, line 20 : that are linear bijections preserving the Z

2 -gradation, but

not algebra homomorphisms.

Page 5, line -8 (from the bottom). What is Ref.[?,p.139] ?

Page 6, line 4 : as multivectors, that is, elements of the exterior algebra,

Page 14, last line : of k pairs (i m , j m ) ,

Page 16, line 3 : and Definition 1.14, we arrive at

Page 16, line 6 : p even, p = 2n .

Page 18, footnote 22 : in Ref.[6, I.2.2, p.76]

Albo to:

"Mam nadzieję, że Autor będzie również uprzejmy wyjaśnić, dlaczego [i_A*,i_x^A] znika. I lepiej nie umieszczać tego wyjaśnienia w przypisie, bo niektórzy niesfortunni czytelnicy potrzebują lupy, żeby przeczytać obliczenia w przypisie."

Przynajmniej recenzent ma humor. I chyba mnie trochę musi lubieć, inaczej dostałby apopleksji.

No i wszystko teraz muszę odłożyć na bok i zabrać się za kolejne poprawki. Po nich, mam nadzieję, moja Praca i ja - trafimy do nieba.  A przewodził będzie Recenzent. On trafi z całą pewnością do Najwyższego Nieba.

Ogólny przypadek U(m,n)

 Dałem spokój z eksperymentowaniem z formą. Koncentruję się na treści. Oto poczatek. Cały plik do ściągnięcia tutaj.

Jeśli coś niejasno napisałem, lub jeśli pobłądziłem - jestem otwarty na bezlitosną krytykę!

P.S. Są pewne typy osobowości, które nie znoszą uwag krytycznych. Tyle wiem z literatury. 

3  powody, dla których krytyka boli

Każda krytyka powoduje u takich ludzi reakcję niemal paniczną. Ja chcę u siebie wykształcić coś wręcz przeciwnego: że bez krytyki źle się czuję, czuję się niedowartościowany. Czym ostrzejsza krytyka, tym bardziej się dowartościowuję. Bowiem mogę coś u siebie poprawić, zmienić na jeszcze lepsze. Tak przynajmniej chciałbym. A jak będzie naprawdę? Pożyjemy-zobaczymy.

P.S.2

Zrobiłem sobie quiz na moja reakcje na krytykę.

https://jestembogata.pl/dlaczego-krytyka-boli/

Wyszło mi dość kiepsko:

"Przyjmujesz krytykę osobiście i w reakcji sama siebie obwiniasz.
Stajesz do konfrontacji z pozycji ofiary - pozycji przegranej dla Ciebie. Prawdopodobnie po usłyszeniu krytyki będziesz potrzebować czasu, by odzyskać wiarę w siebie i poczucie sensu tego co, robisz.

Czego byś potrzebowała, by tę sytuację zmienić?
Czy wiesz, że krytyka niekoniecznie traktuje o Tobie? To może być komunikat mówiący o osobie go wygłaszającej. (I to nie to, o czym myślisz :-))."

P.S.3 Przysłał mi przed chwilą Czytelnik takie oto istotne pytanie:

"Przychodzi mi na myśl takie coś: Gdzie Ty właściwie dążysz w swojej pracy? Czemu to wszystko co publikujesz ma służyć? Jaki masz do tego stosunek, do bloga, do tego co piszesz, do innych...? 

Twoim celem jest stworzyć coś takiego jak nową teorię względności? Teorię wszystkiego? Co byś chciał wyjaśnić i przekazać. Jaki jest większy obraz tego do czego dążysz?"

Faktycznie, dokąd ja zmierzam? Dobre pytanie. Pomyślę nad tym i odpowiem, jak umiem,  w kolejnej notce.

Zaś tymczasem, tak ogólnie, pisałem o tym kiedyś w "Do czego zmierzam?" 

Wszystko co ważne chadza trójkami.

Trzy są modele tej samej geometrii. Dysk jednostkowy na płaszczyźnie liczb zespolonych, półpłaszczyzna o urojonej części dodatniej, też na płasczzyźnie liczb zespolonych, oraz hiperboloida w trójwymiarowej przestrzeni płaskiej z metryką o sygnaturze (++-).

Dyskiem już rzucaliśmy. Dyskiem zresztą rzucałem już w liceum – to moja ulubiona dyscyplina sportowa. Wczoraj jednak Bjab zajrzał do Wikipedii i zapytał o hiperboloidę. Nie było rady, musiałem odłożyć dysk na bok i zacząć rachować. Bowiem gdy są pytania – musza być i odpowiedzi. Najpierw mi nie szło, końce się nie schodziły. Normalny człowiek rzuciłby coś co nie wychodzi i zajął się czymś co zawsze wychodzi. Zawsze się taka rzecz pod reką znajdzie. Jednak w końcu “wyszło”. I wygląda to jak poniżej opiszę.

Tylko może zanim opiszę – jedna dygresja. Gdy mi się te końce nie schodziły – poszukałem trochę po sieci. Nie znalazłem tego czego szukałem, ale znalazłem ciekawy i przystępnie napisany artykuł autorstwa niejakiej Eryki Dunn-Weiss p.t. Introduction to Geometry. Może się w przyszłości przyda.

Poszukałem też kto to taki ta pani. Ma “B.S. in math from the University of Chicago," I  "Ph.D. in neuroscience from Johns Hopkins University. “

A oto nad czym pracuje.

Przechodzimy do pytania Bjaba i modelu z hiperboloidą. Pytaniu towarzyszył ten obrazek z Wikipedii:

Red circular arc is geodesic in Poincaré disk model; it projects to the brown geodesic on the green hyperboloid.

Jest tam jeszcze takie tajemnicze zdanie:

“A geodesic on the hyperboloid is the (non-empty) intersection of the hyperboloid with a two-dimensional linear subspace (including the origin) of the n+1-dimensional Minkowski space. “

To zdanie jest dla mnie zagadką, jednak nie od razu Kraków zbudowano. Zanim coś zbudujemy, należy najpierw ułożyć solidny fundament. I tym się dziś zajmiemy.

Bierzemy więc trójwymiarową przestrzeń rzeczywistą. Współrzędne w tej przestrzeni oznaczymy X,Y,Z. Przy tym Z będzie odgrywało rolę “czasu”, zatem “kwadrat długości” wektora o współrzędnych X,Y,Z to będzie

X^2 + Y^2 - Z^2

a nie X^2+Y^2+Z^2 jak to by było w przestrzeni euklidesowej.

Uwaga: “^” oznacza “do potęgi”.

W tej przestrzeni, w płaszczyźnie Z=0 mamy dysk jednostkowy. Współrzędne punktu na dysku oznaczymy literkami x,y. W naszej trójwymiarowej przestrzeni punkt dysku ma zatem współrzędne (x,y,0).

Mamy tam jeszcze hiperboloidę opisaną równaniem

Z = (1+X^2+Y^2)^(1/2)

Bierzemy proste wychodzące z punktu (0,0,-1). Te przecinają dysk w punkcie (x,y,0) a następnie przecinają hiperboloidę w punkcie X,Y,Z.

Jaki jest związek pomiędzy (x,y) a (X,Y,Z)?

Wyprowadzenie tego związku to problem do rozwiązania dla Czytelnika. Podam moje rozwiązanie:

niech

rho^2 = x^2+y^2

Wtedy

X = 2x/(1-rho^2)

Y = 2y/(1-rho^2)

Z = (1+rho^2)/(1-rho^2)

Zadanie: sprawdź, że faktycznie, wtedy automatycznie

Z = (1+X^2+Y^2)^(1/2).

Chcemy znaleźć metrykę Riemanna na dysku, czyli dX^2 + dY^2 - dZ^2.

Tu już nie chciało mi się liczyć i zatrudniłem program Mathematica.

Oto kod:

rho=Sqrt[x^2+y^2];

X=2x/(1-rho^2);

Y=2y/(1-rho^2);

Z=(1+rho^2)/(1-rho^2);

dX=D[X,x]dx+D[X,y]dy;

dY=D[Y,x]dx+D[Y,y]dy;

dZ=D[Z,x]dx+D[Z,y]dy;

FullSimplify[dX^2+dY^2-dZ^2]

I oto wynik:

(4 (dx^2+dy^2))/(-1+x^2+y^2)^2

I to zgadza się z metryką Riemanna wyliczoną przez nas w jednej z poprzednich notek. Co cieszy.

P.S. Komora hiperbaryczna pomaga w rachunkach!

Wiedzieć a widzieć

 Ostatnia przygoda z moimi rachunkami nasunęła mi ideę tej notki. Bowiem widziałem, że moje rachunki muszą w końcu dać prosty i piękny wynik, ale nie wiedziałem jak do tego dojść (lub ewentualnie sfalsyfikować). Wymagało to pracy i olśnienia. Kiedy indziej natomiast coś niby "wiem", ale nie "widzę". Nic wtedy z tej wiedzy nie wynika. I tu znów praca i olśnienie są niezbędne. Nad pracą mamy władzę. Nad olśnieniem - niewielką. Olśnienie przychodzi jeśli zechce i kiedy zechce. Jedno jest pewne - bez pracy nie przyjdzie, a jak przyjdzie to może zwieść.

To tak ogólnie. Nie będe się w tym ogólnym stylu dalej rozpisywał. Byłaby to tylko folozofowanie. Z samego filozofowania nie popartego konkretami nic pożytecznego nie wynika. Tak przynajmniej ja to widzę. Nie tylko widzę, ale i wiem, bowiem trochę się jednak filozofia w przeszłości interesowałem.

Przechodzę więc do konkretów. W tym przypadku do algebry. Prosta algebra liniowa. Nic wielkiego, nic nadzwyczaj trudnego. Gdy sie już wie. Bowiem zanim się wie, panuje tu mętlik. I tak jeszcze wczoraj miałem w głowie mętlik. Olśnienie przyszło dziś rankiem. Miałem jakieś sny, w których algebra przedstawiała się w postaci przenośni – ludzi, grup sytuacji. Detali snu nie pamiętam. Ale zaraz po wstaniu z łóżka wiedziałem. Olśniło mnie jak głupio się wczoraj do pracy zabierałem. Że powinienem się zabrać od zupełnie innej strony.

“Nie będę chyba szukał Prosiaczka przy Sześciu Sosnach – rzekł Puchatek do siebie – ponieważ został on zorganizowany w zupełnie innym miejscu, więc najpierw poszukam Zupełnie Innego Miejsca. Ciekaw jestem, gdzie ono jest. – I ułożył sobie w głowie taki plan:

KOLEJNOŚĆ SZUKANIA ROZMAITYCH RZECZY

1.      Zupełnie Inne Miejsce – (żeby znaleźć Prosiaczka).

2.      Prosiaczek – (żeby dowiedzieć się, kto to jest Mały).

3.      Mały – (żeby znaleźć Małego).

4.      Królik – (żeby powiedzieć mu, że znalazłem Małego).

5.      Znowu Mały – (żeby powiedzieć mu, że znalazłem Królika).

„Z czego wynika, że zanosi się na bardzo kłopotliwy dzień” – myślał Puchatek idąc Lasem.W chwilę potem okazało się, że dzień był naprawdę kłopotliwy, gdyż Puchatek tak był zajęty niepatrzeniem, którędy idzie, że stąpnął na kawałek Lasu, który był przez pomyłkę wpuszczony w ziemię.

Gdy rano zabrałem się do pracy tuż na samym początku stąpnąłem na kawałek lasu, który przez pomyłkę był wpuszczony w ziemię. Jedną tylko godzinę zajęło mi wydobywanie się z tego wpuszczenia w ziemię. I potem już poszło. Troche ręcznych rachunków, trochę sprawdzania Mathematicą. I po bólu.

Więc teraz, notka za notką opiszę co znalazłem. Powolutku, we wszystkich detalach.

Dotąd zajmowałem się przetrzenią liniową (1+1)-wymiarową. To model-zabawka. Jednak wiele konstrukcji tej serii notek działa równie dobrze w ogólniejszym, bynajmniej nie zabawnym przypadku, gdy mamy m+n wymiarów: m “dodatnich” i n “ujemnych”. Już dla m=n=2 mamy “prawdziwą” fizykę – choć jeszcze “tylko prawdziwą” i nic więcej. Ot, szczególne przypadki hermitowskich przestrzeni symetrycznych.

A więcej to to mi się marzy:

Jordan algebras, geometry ofHermitian symmetric spaces and non-commutative Hardy spaces

Khalid Koufany ¹ 

1 IECN - Institut Élie Cartan de Nancy

Abstract : These notes were written following lectures I had the pleasure of giving on this subject at Keio University, during November and December 2004. The first part is about new applications of Jordan algebras to the geometry of Hermitian symmetric spaces and to causal semi-simple symmetric spaces of Cayley type. The second part will present new contributions for studing (non commutative) Hardy spaces of holomorphic functions on Lie semi-groups which is a part of the so called Gelfand-Gindikin program.

P.S. Wspominałem już, że interesuję się psychologią. Studiuję podręczniki i publikacje. Zainteresowałem się m.in.  tym skąd się bierze u ludzi to widzenie niewidzialnego? Trafiłem na taki artykuł:

Newton, Einstein i genetyczne uzasadnienie schizofrenii?

W odniesieniu do związku między kreatywnością a schizofrenią, dr Andreasen zwrócił uwagę na interesującą obserwację, że że częstość występowania zaburzeń psychotycznych pozostaje stała w czasie i jest mniej więcej taka sama na całym świecie.

Ponadto badacze udokumentowali wysoką dziedziczność (70%-80%) na podstawie badań bliźniąt jednojajowych i dwujajowych. A jednak osoby dotknięte schizofrenią rzadko zawierają małżeństwa i zazwyczaj nie mają dzieci. Dlaczego więc takie zaburzenia utrzymują się w populacji? Jednym z wyjaśnień może być związek między geniuszem/kreatywnością a poważnymi chorobami psychicznymi.

Przykładem tego związku są historie niektórych z najważniejszych odkryć współczesnej nauki, z których jednym jest Mechanika Newtona. Wiadomo, że Newton miał załamanie psychiczne w wieku około 40 lat; żył samotnie, nie miał dzieci, i prawdopodobnie miał nietypowe zainteresowania i przekonania. Kolejnym ważnym odkryciem jest względność Einsteina, a Einstein był znany z tego, że miał cechy schizotypowe, był zdystansowany, miał trudności w relacjach z innymi i miał syna chorego na schizofrenię. "Czy choroba (lub noszenie diatez dla niej) nadaje zdolność do postrzegania i myślenia w wysoce oryginalny sposób?" pytał dr Andreasen - "Do dostrzegania nowych i odmiennych związków?". Kreatywność jest darem umysłowym, który pozwala ludziom postrzegać w oryginalny i nowatorski

Dostrzegać rzeczy, których inni nie potrafią. Jest ona wspólna dla wszystkich dyscyplin, takich jak matematyka i literatura. Sprawia, że jej posiadacz jest "inny", a czasem podatny na choroby psychiczne, takie jak schizofrenia czy zaburzenia nastroju. Możliwe jest, że schizofrenia utrzymuje się w puli genów ze względu na jej związek z kreatywnością i geniuszem.

Medscape Psychiatry © 2011 WebMD, LLC

Cite this: Michael T. Compton. Newton, Einstein, a Gaggle of Writers - Medscape - Jun 17, 2011.

References

1. Andreasen NC. A Journey into Chaos: Creativity and the Unconscious. Proceedings and abstracts from the 164th

American Psychiatric Association Annual Meeting. Honolulu, HI; 14-18 maja 2011. Wykład 24.

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

"Do dostrzegania nowych i odmiennych związków"- z tym właśnie mam poważne trudności. Próbuję nadrobić to pracowitością, cierpliwością, wytrwałością, ale idzie jak po grudzie. Człowiek twórczy ma dobrze. Bowiem pracowitości, wytrwałości, cierpliwości, może się bez trudu nauczyć. Kreatywności natomiast nauczyć się trudno. Albo się ją ma, albo się jej nie ma. Kwestia genów i obwodów w mózgu. Tak przynajmniej ja to widzę. 

P.S. Komora hiperbaryczna powinna mi w tym pomóc.

A propos widzieć: To moi niektórzy komentatorzy kochający mundury i NATO będą uwielbiać, będa zapewne skakać z radości. "Nareszcie! Ale będzie zabawa!":

Kocie przygody:

16/10/22 Widzę, że moje dodatki o widzeniu i wiedzeniu mają powodzenie wśród  komentujących. Zatem jeszcze jeden dodatek - poranny, na przebudzenie:

A gdyby któryś z Czytelników miał niedługo urodziny - polecam:

I jeszcze a propos wiedzenia i widzenia:

Westerners live in denial, convinced they're the good guys

Warto się bać

"Niech nikt nie uspokaja swego sumienia złudzeniem, że nie może wyrządzić żadnej szkody, jeśli nie bierze udziału i nie "formułuje żadnej opinii. Źli ludzie nie potrzebują niczego więcej, aby osiągnąć swój cel, niż to, że dobrzy ludzie powinni patrzeć i nic nie robić. Nie jest dobrym człowiekiem ten, kto bez protestu pozwala, aby w jego imieniu i przy pomocy środków, które pomaga dostarczyć, popełniano zło, ponieważ nie zadaje sobie trudu, aby użyć swojego umysłu w tej sprawie.

John Stuart Mill

Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)

 “Let not any one pacify his conscience by the delusion that he can do no harm if he takes no part, and forms no opinion. Bad men need nothing more to compass their ends, than that good men should look on and do nothing. He is not a good man who, without a protest, allows wrong to be committed in his name, and with the means which he helps to supply, because he will not trouble himself to use his mind on the subject.”

John Stuart Mill

Polecam Przemysława Piasty "Warto się bać"

Dla Czytelników z Polski: Alternatywny link.

"... Dlatego mimo słabości mojego głosu nie wolno mi milczeć. I nie wolno milczeć żadnemu z Was. Tak jak drążąca skałę kropla, prawda powoli przebija się nad opary łgarstw. Najwyższy czas by Polacy ją poznali. I zaczęli się bać. Póki nie jest za późno. O ile nie jest za późno.

Przemysław Piasta"

Errata do Geometry of indefinite metric spaces

 Z blogu mam jednak pożytek. To dzięki tym notkom odkryłem błąd w dowodzie jednej ważnej własności w jednej z moich publikacji. 

Tak, najwyraźniej gdy piszę prace to śpię i stąd nie widzę, gdy mysz przechodzi pod moim nosem:

(A z kolei moi W.Sz. Czytelnicy w nocy zamiast grzecznie spać, to myszkują po moim blogu. Stąd kołysanka się w przyszłości przyda.)

No i zdecydowałem, że opublikuję w sieci poprawny dowód, kttóry znalazłem w czasie pisanie tych notek. Nad tym aktualnie pracuję. Jeszcze dziś przypuszczalnie udostępnię tu wynik mojej pracy. Tak to aktualnie wygląda. 

I już (18:45) udostępniam:

Są tego aktualnie cztery strony, ale chcę jeszcze dorobić coś ważnego: postać macierzy S_Z w ogólnym przypadku (gdy Z jest macierzą mxn, a nie liczbą zespoloną - grupa SU(m,n) a nie SU(1,1) jak w tych notkach o modelu-zabawce). Na razie nie umiem tego zrobić, ale jak dobrze pójdzie - to dziś zrobię. Bowiem MUSI wyjść.

W międzyczasie też powalczyłem z recenzentami innej pracy. Przytaczam fragment mojej wczorajszej korespondencji z Redakcją czasopisma:

"(...)   Niby czyją opinię ma wyrażać recenzent jak nie własną? Ten przykład dotyczy innej pracy, nie tej?"

Gdy sie poprawia czyjeś błędy, można obiektywnie dyskutować czy faktycznie jest błąd? Można tu dojść do porozumienia.

Gdy się wyraża ogólną opinię co autor "powinien" a czego "nie powinien" - - jest to osobiste, bowiem ludzie nigdy nie dojdą w tym względzie do porozumienia.

Recenzent za nic nie odowiada. Odpowiada Redaktor. Więc dla recenzenta hulaj dusza. Jeden się do recenzji przyłoży, inny będzie się odgrywał na autorze pracy, gdy ma ku temu jakieś swoje osobiste  powody. W naukach medycznych z tego powodu wprowadzono system "doubly blind" recenzowania, gdzie redakcja nie odkrywa przed recenzentem kim są autorzy danej pracy. Nauki fizyczne i matematyczne tego nis stosują, bowiem wychodzi się z założenia, że  nie ma tam aż takich osobistych rozgrywek. Wiemy jednak, że są. Stad na przykład dyskusja w internecia o "czarnych listach", na przykład w arxiv, stąd i procesy sądowe o celową dyskryminację także w naukach fizycznych.

Ta przykładowa recenzja oczywiście z innej mojej pracy, gdzie recenzenci mnie zdumieli, bowiem zrozumieli moją pracę nawet lepiej ode mnie i oprócz wskazywania na moje liczne błędy  wskazywali konkretne i istotne ulepszenia.(...)

P.S. A w moim ostatnim komentarzu pod poprzednią notką dałem link do jednego z możliwych rozwiązań "Problemu" . Myślałem, że to pomoże. Jednak widzę, że Czytelnicy moich najwyraźniej komentarzy nie czytają, bowiem o nic nie pytają.